[論文レビュー] Biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive curvature

Nobumitsu Nakauchi, Hajime Urakawa|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、非正の断面曲率を持つ完備なリーマン多様体に埋め込まれた双調和的超多様体が、平均曲率テンソルの$L^2$ノルムが有限であれば、最小的であることを証明している。切断関数を用い、ビテンション場方程式に対して部分積分を行うことで、これらの条件下で平均曲率ベクトルが恒等的に消えることを示しており、可積分性および完備性の仮定の下で、B.Y. チェンの予想の一般化が裏付けられている。

ABSTRACT

We show that for an isometric immersion of a complete Riemannian manifold into a Riemannian manifold with non-positive curvature, the norm of the mean curvature vector field is square integrable, then it is minimal. This is a partial affirmative answer of the B. Y. Chen's conjecture.

研究の動機と目的

• 非正曲率リーマン多様体内の双調和的超多様体に関するB.Y. チェンの予想の一般化を解決すること。
• 双調和的超多様体が最小的である条件を確立すること、特に平均曲率テンソルの$L^2$ノルムの役割に焦点を当てる。
• 任意の余次元の超多様体とより強い曲率仮定を扱うことで、従来の双調和写像に関する結果を拡張すること。
• 以前の研究で用いられた手法を避ける新しい直接的証明技法を提供すること、特に高余次元の場合に有効である。

提案手法

• 測地球$B_{2r}(x_0)$上に台を持つ滑らかな切断関数$\lambda$を用い、$\lambda \equiv 1$ on $B_r(x_0)$および$|\nabla \lambda| \leq 2/r$を満たす。
• ビテンション場方程式$\tau_2(\varphi) = 0$を$\lambda^2 \eta$で積分し、エネルギー型不等式を導出する。
• 多様体$N$における断面曲率の非正性を活用して、ビテンション方程式における曲率項が非正であることを保証する。
• Youngの不等式を$\epsilon = 1/2$で適用し、$\nabla \lambda$と$\overline{\nabla}_X \eta$を含む混合項を制御し、一様な境界を得る。
• $r \to \infty$の極限を取ることで、$\int_M \sum_{i=1}^m |\overline{\nabla}_{e_i} \eta|^2 \, v_g \leq 0$が得られ、これにより$\overline{\nabla}_X \eta = 0$（すべてのベクトル場$X$に対して）が導かれる。
• $\overline{\nabla}_X \eta = -A_\eta(X) + \nabla^\perp_X \eta$の分解と、接成分および法成分の両方の消滅を用いて、$\eta \equiv 0$が結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正曲率リーマン多様体内の双調和的超多様体が最小的になる条件は何か？
• RQ2 平均曲率テンソルの$L^2$ノルムが有限である場合、一般化されたB.Y. チェンの予想は検証可能か？
• RQ3 超多様体$M$の完備性と$\int_M |\eta|^2 \, v_g$の有限性が、非正曲率環境空間内の双調和的超多様体の最小性を強制するのに十分か？
• RQ4 なぜ従来の手法は高余次元超多様体に対して失敗するのか？どのような新しいアプローチが求められるか？

主な発見

• もし$\varphi: (M,g) \to (N,h)$が、$M$が完備で$\int_M |\eta|^2 \, v_g < \infty$を満たす双調和的等長埋め込みであれば、$\eta \equiv 0$、つまり埋め込みは最小的である。
• 証明により、すべての$M$上のベクトル場$X$に対して$\overline{\nabla}_X \eta = 0$が成り立つことが示され、$\eta$が平行であることが意味される。
• 曲率項$\sum_{i=1}^m \langle R^N(\eta, d\varphi(e_i)) d\varphi(e_i), \eta \rangle$は、$N$における非正の断面曲率のおかげで非正である。これはエネルギー推定において重要である。
• $|\eta|$の$L^2$-有限性と$M$の完備性のおかげで、$r \to \infty$の極限を取ることができ、$\int_M \sum_{i=1}^m |\overline{\nabla}_{e_i} \eta|^2 \, v_g \leq 0$が得られ、$\eta$の勾配が消えることを強制する。
• $A_\eta(X)$と$\nabla^\perp_X \eta$の消滅により、すべての$X,Y$に対して$\langle B(X,Y), \eta \rangle = 0$が成り立つ。これは$\eta = \frac{1}{m} \sum_i B(e_i,e_i)$であることから、$\eta \equiv 0$を強制する。
• この結果により、提示された条件下で一般化されたB.Y. チェンの予想が裏付けられ、双調和的超多様体の最小性の鋭い十分条件が得られた。