[論文レビュー] Bijective arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, and binary quadratic forms

Nikita Sidorov, A. M. Vershik|ArXiv.org|Oct 13, 1998

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次トーラス上の双曲的自己同型の双対的算術符号化の存在について、その自己同型から導かれる二進二次形式を用いて、必要十分条件を確立する。主な結果は、このような双対的符号化が存在するのは、この二次形式が非零格子点上でとる最小値が、関連する群準同型の最小可能核順序と一致する場合に限ることを示しており、動的システムと代数的数論の間を、対応する二次体のディリクレ群を通じて結ぶ。

ABSTRACT

We study the arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, i.e. the continuous mappings acting from a certain symbolic space of sequences with a finite alphabet endowed with an appropriate structure of additive group onto the torus which preserve this structure and turn the two-sided shift into a given automorphism of the torus. This group is uniquely defined by an automorphism, and such an arithmetic coding is a homomorphism of that group onto the 2-torus. The necessary and sufficient condition of the existence of a bijective arithmetic coding is obtained; it is formulated in terms of a certain binary quadratic form constructed by means of a given automorphism. Furthermore, we describe all bijective arithmetic codings in terms the Dirichlet group of the corresponding quadratic field. The minimum of that quadratic form over the nonzero elements of the lattice coincides with the minimal possible order of the kernel of a homomorphism described above.

研究の動機と目的

• 2次トーラスの双曲的自己同型が、群構造を保存する双対的算術符号化をもつための条件を同定すること。
• このような符号化の存在を支配する明確な代数的条件を、二進二次形式の観点から表現すること。
• 自己同型に関連する二次体のディリクレ群を用いて、すべての可能な双対的算術符号化を記述すること。
• 符号化の記号群からトーラスへの準同型の核の最小可能順序を特定し、力学系と二次形式の格子最小値を結びつけること。

提案手法

• 2次トーラスの双曲的自己同型の行列から二進二次形式を構成する。
• 算術符号化を、有限アルファベットを持つ記号群からトーラスへの連続的かつ構造を保つ準同型として定義する。
• 記号空間とトーラスの群構造を用いて、準同型の核を分析する。
• 二進二次形式が非零格子ベクトル上でとる最小値を用いて、符号化の全単射性を特徴付ける。
• 特に、自己同型に関連する実二次体のディリクレ群を用いた代数的数論の道具を用いる。
• 双対的符号化と二次体の整数環の単数の間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次トーラスの双曲的自己同型が、群構造を保存する双対的算術符号化をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 このような双対的符号化の存在が、自己同型から導かれる二進二次形式の算術的性質とどのように関係するか？
• RQ3 記号群からトーラスへの準同型の核の最小可能順序は何か？ そしてそれはいつ達成されるか？
• RQ4 すべての双対的算術符号化は、代数的数論の観点からどのようにパrameter化できるか？
• RQ5 関連する二次体のディリクレ群は、これらの符号化の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 双対的算術符号化が存在するのは、関連する二進二次形式が非零格子点上でとる最小値が、準同型の最小可能核順序と一致する場合に限る。
• 核の最小順序は、二次形式が非零格子ベクトルで最小値をとる場合にのみ達成され、これは二次体の整数環における単数に対応する。
• すべての双対的算術符号化は、関連する実二次体のディリクレ群（単数群）によってパラメータ化される。
• 記号群の構造は、実二次体の整数環の加法群と同型であり、符号化の明示的構成を可能にする。
• 双対的符号化の存在は、トレースと判別式からなるユニモジュラー行列で表せる自己同型であることと同値であり、その二次形式が最小値1をとる正定値形式を生じる。
• 本稿は、基礎となる二次体の算術を用いて、このような符号化の完全な分類を提供し、力学系と代数的数論を結ぶ。