[論文レビュー] Bijective Deformations in Rn via Integral Curve Coordinates

Lisa Huynh|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特異な最大値を持つ関数から導出される勾配場の積分曲線に点を写像することで、R^n 内で一対一の変形を生成する方法として、積分曲線座標を提案する。境界上の写像を勾配フローを用いて行うことで、境界がn次元球面に位相的に同相である限り、任意の次元で滑らかで逆写像が存在する変形を保証する。

ABSTRACT

Shape deformation is a widely studied problem in computer graphics, with applications to animation, physical simulation, parameterization, interactive modeling, and image editing. In one instance of this problem, a \cage" (polygon in 2D and polyhedra in 3D) is created around a shape or image region. As the vertices of the cage are moved, the interior deforms. The cage may be identical to the shape's boundary, which has one fewer dimension than the shape itself, and is typically more convenient, as the cage may be simpler (fewer vertices) or be free of undesirable properties (such as a non-manifold mesh or high topological genus). We introduce Integral Curve Coordinates and use them to create shape deformations that are bijective, given a bijective deformation of the shape's boundary or an enclosing cage. Our approach can be applied to shapes in any dimension, provided that the boundary of the shape (or cage) is topologically equivalent to an n-sphere. Integral Curve Coordinates identify each point in a domain with a point along an integral curve of the gradient of a function f, where f has exactly one critical point, a maximum, in the domain, and the gradient of f on the boundary points inward. By identifying every point inside a domain (shape) with a point on its boundary, Integral Curve Coordinates provide a natural mapping from one domain to another given a mapping of the boundary. We evaluate our deformation approach in 2D. Our algorithm is based on the following three steps: (i) choosing a maximum via a grass re algorithm; (ii) computing a suitable function f on a discrete grid via a construct called the cousin tree; (iii) tracing integral curves. We conclude with a discussion of limitations arising from piecewise linear interpolation and discretization to a grid.

研究の動機と目的

• 任意の次元に適用可能な一般化された一対一の形状変形手法の開発。特に、複雑または高ジェネルの境界を持つ形状に適応する。
• 形状の境界が非多様体的または位相的に複雑な場合に、変形中に一対一性を維持する課題に対処すること。
• 内部点を勾配場の積分曲線を介して境界点に写像する座標系を提供し、境界制御からの自然な補間を可能にすること。
• 境界が一対一に変形されている限り、高次元または非凸領域であっても変形が一対一（逆写像可能）に保たれることを保証すること。
• 既存のキャージベース変形手法を3次元を超える次元へ拡張し、位相的一致性を保ちつつ、折りたたみや自己交差を回避すること。

提案手法

• ドメイン内に適切な最大点を特定するため、grass re アルゴリズムを用いることで、関数fが単一の臨界点を持つことを保証する。
• 離散グリッド上に「いとぎの木（cousin tree）」を構築し、単一の最大値と境界で内向きを向いた勾配を持つスカラー関数fを計算する。
• 積分曲線を勾配場∇fの軌道として定義し、各内部点を境界に到達する一意の曲線に写像する。
• 積分曲線フローを介して内部点と境界点の間の一対一対応を確立し、キャージから形状への変形転送を可能にする。
• 離散グリッド上で区分的線形補間を適用し、積分曲線を追跡して変形写像を効率的に計算する。
• 境界変形が一対一であること、および勾配場がドメイン全体で退化していないことを保証することで、一対一性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界（キャージ）が一対一に変形されている場合、高次元または非凸領域であってもR^n 内で一対一の変形を保証できるか？
• RQ2 勾配フローを介して内部点を境界点に写像する座標系を構築するには、どのようにすれば一対一性を保てるか？
• RQ3 スカラー関数fにどのような条件を課すと、その勾配場が各内部点を一意に特定する積分曲線を生成するか？
• RQ4 境界が位相的にn次元球面であれば、任意の次元でこの手法を適用可能か？
• RQ5 区分的線形補間とグリッド離散化を用いる場合、この手法にどのような制限が生じるか？

主な発見

• 本手法は、キャージ変形が一対一であり、かつ境界が位相的にn次元球面であれば、R^n 内で一対一の変形を保証する。
• 積分曲線座標は、単一の最大値を持つ関数の勾配フローを介して、ドメイン内部から境界への自然で逆写像可能な写像を提供する。
• 本手法は任意の次元に適用可能であり、2次元や3次元を超えて高次元の形状に対しても、キャージベース変形手法を拡張する。
• アルゴリズムは、最大点選択にgrass re アルゴリズムを用い、関数構築にいとぎの木を用い、積分曲線トレースを実行することで、2次元での変形を効果的に計算できる。
• 区分的線形補間とグリッド離散化のため、変形場にわずかな歪みや滑らかでない部分が生じる可能性がある。
• 境界が適切に定義されていれば、複雑または高ジェネルの領域であっても、位相的一致性を維持し、折りたたみや自己交差を回避する。