[論文レビュー] Bilateral Boundary Control Design for a Cascaded Diffusion-ODE System Coupled at an Arbitrary Interior Point

Stephen Chen, Rafael Vázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、折りたたみ変換とバックステッピングを用いて、任意の内部点で結合された級列型拡散-ODE系に対する双方向境界制御設計を提示する。ボルテラ変換を介して指数的安定性を示す目標系にシステムを変換することにより、著者らは、リャプノフ解析および有界カーネルの存在を用いて、$L^2 \times \mathbb{R}^n$ 安定性を保証する安定化境界コントローラーを確立する。

ABSTRACT

We present a methodology for designing bilateral boundary controllers for a class of systems consisting of a coupled diffusion equation with an unstable ODE at an arbitrary interior point. A folding transformation is applied about the coupling point, transforming the system into an ODE with an input channel consisting of two coupled diffusive actuation paths. A target system with an exponentially stable trivial solution in the sense of L^2 X R^n is proposed, and the stability property is shown via the Lyapunov method. The stabilizing control laws are formulated via tiered Volterra transformations of the second kind, establishing an equivalence relation between the stable target system and the original plant under boundary feedback. Stability properties of the plant under feedback is inferred from the equivalence relation. The well-posedness of the backstepping transformations involved are studied, and the existence of bounded Volterra kernels is shown, constituting a sufficient condition for the invertibility of the Volterra transformations.

研究の動機と目的

• パラボリックPDEと不安定なODEが任意の内部点で結合された系の安定化を扱う。これは、片側制御では完全に解決されていない問題である。
• 折りたたみフレームワークを双方向境界制御に拡張し、制御性とロバストネスを向上させるための二点駆動を可能にする。
• 2種類目のボルテラ変換を用いた無限次元バックステッピングにより、安定化フィードバック則を設計する。
• 固定点法およびカーネルの有界性を用いて、ボルテラカーネルの存在性と可逆性を証明する。
• リャプノフ法を用いて、閉ループ系の $L^2 \times \mathbb{R}^n$ 意味での指数的安定性を確立する。

提案手法

• 内部結合点を中心とした折りたたみ変換を適用し、元のシステムを二つの拡散的駆動経路を持つ級列型PDE-ODE構成に変換する。
• リャプノフに基づく解析を用いて、$L^2 \times \mathbb{R}^n$ ノルムにおいて指数的安定性を示す自明な解を持つ目標系を構築する。
• 2種類目のボルテラ変換を段階的に用いて安定化制御則を設計し、境界フィードバック下で元のプラントと安定な目標系との間の同等性を確立する。
• シュードァーの固定点定理とワイエルシュトラスM検定を用いて、ボルテラカーネルの存在性と有界性を示すことにより、バックステッピング変換の適切な定義を証明する。
• 再帰的バウンディングとカーネルノルム推定を用いて、カーネル列の一様収束を確立し、変換の可逆性を保証する。
• 滑らかな行列指数関数との畳み込みを用いて、ODE成分の解の正則性を確認し、変換カーネルの $C^\infty$ 正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部点で結合されたPDE-ODE系に対して、従来の片側制御では不十分である場合に、どのように双方向境界制御を設計できるか？
• RQ2 折りたたみ変換技術を1次元の級列型拡散-ODE系に拡張し、双方向制御を可能にすることができるか？
• RQ3 このような系のバックステッピング設計におけるボルテラカーネルの存在性と可逆性を保証する条件は何か？
• RQ4 リャプノフ法を用いて、閉ループ系の $L^2 \times \mathbb{R}^n$ ノルムにおける指数的安定性をどのように証明できるか？
• RQ5 ODEの結合点が変換されたシステムの構造と可制御性に果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された双方向制御設計により、目標系のリャプノフに基づく解析を通じて、$L^2 \times \mathbb{R}^n$ ノルムにおける自明解の指数的安定性が達成される。
• シュードァーの固定点定理を用いて、有界なボルテラカーネルの存在が証明され、ワイエルシュトラスM検定により一様収束が確立される。
• 変換のためのカーネル列が $C(\mathcal{T})$ 内で一様収束することが示され、バックステッピング変換の可逆性が保証される。
• ODE成分の解が $C^\infty([0,1])$ であることが示され、これは滑らかな行列指数関数との畳み込みによって生じる。この関数はモリファイアとして機能する。
• 変換により、元の不安定なシステムが安定な目標系に写像され、同等関係から、フィードバック下での元のプラントの安定性が導かれる。
• 本手法は、ODEが内部点で二つの放物型PDEの間に挟まれた系のクラスを安定化するための体系的フレームワークを提供する。