[論文レビュー] Bilateral Small Lebesgue Spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Apr 29, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、再配置不変グランドルベーグ空間 G(ψ) の双対空間として、二重小ルベーグ空間（BSL）を導入し、その基本的性質を分析する。これには、ノルム推定、ボイド指数、基本関数、収束性の解析が含まれる。主な貢献は、特定のパrameter条件の下で、古典的作用素（例えば、ハーディー＝リトルウッドの maximal 関数やヒルベルト変換）の有界性を含む、BSL 空間の包括的特徴付けである。

ABSTRACT

In this article we investigate the so-called Bilateral Small Lebesgue Spaces: prove that they are associated to the Grand Lebesgue spaces, calculate its fundamental functions and Boyd's indices find its dual spaces etc.

研究の動機と目的

• グランドルベーグ空間 G(ψ) の双対空間として、二重小ルベーグ空間（BSL）を定義し、その性質を調査すること。
• BSL(ψ) 空間の基本関数およびボイド指数を特徴付けること。
• 測度 χ から導かれる新しい関数 f に対して定義される関数的 |||·||| を用いて、BSL(ψ) のノルム推定、収束性、コンパクト性の基準を確立すること。
• 古典的作用素（例えば、ハリー＝リトルウッドの maximal 関数、ヒルベルト変換）が BSL(ψ) 上で有界であるための条件を特定すること。

提案手法

• グランドルベーグ空間 G(ψ) の双対空間 G*(ψ) として BSL(ψ) を定義し、双対ペアリング ∫f·g dμ を用いる。
• 測度に類似した関数的 χ(μ(A)) = ||I(A)||SL(ψ) を導入し、新たなノルム |||f||| = ∫|f| dχ を定義する。このノルムは元の BSL ノルムを支配する。
• Sim(ψ) 内の単純関数による関数の表現を用いて、ノルム推定を導出し、BSL(ψ) における稠密性を確立する。
• 再配置不変（r.i.）空間の理論を応用し、BSL(ψ) のボイド指数および基本関数を導出する。
• パラメータ a, b および関数 ψ との関係を用いて、作用素（例：maximal 関数、ヒルベルト変換）の有界性を分析する。
• |||·||| での収束が元の BSL ノルムでの収束に帰着されることを示し、収束性およびコンパクト性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重小ルベーグ空間 BSL(ψ) は、グランドルベーグ空間 G(ψ) の双対空間として、どのように正確に構造づけられるか？
• RQ2 BSL(ψ) のボイド指数および基本関数は、関数 ψ および区間 (a,b) にどのように依存するか？
• RQ3 ハリー＝リトルウッドの maximal 関数が BSL(ψ) 上で有界であるための条件は何か？
• RQ4 X = ℝ^d のとき、ヒルベルト変換が BSL(ψ) 上で有界である条件は何か？
• RQ5 関数 f ∈ BSL(ψ) のノルムを効果的に推定または近似する方法は何か？

主な発見

• 二重小ルベーグ空間 BSL(ψ) は、グランドルベーグ空間 G(ψ) の双対空間 G*(ψ) に等長同型である。
• 関数的 |||f||| = ∫|f| dχ は支配的ノルム推定を与える：||f||SL(ψ) ≤ |||f|||SL(ψ) が成り立ち、特定の状況では等号が成立する。
• ハリー＝リトルウッドの maximal 関数 M は、SL(ψ) 上で有界であるための必要十分条件は a > 1 である。
• ヒルベルト変換 H は、SL(ψ) 上で有界であるための必要十分条件は a > 1 である。
• X = [0, 2π) のとき、SL(ψ) に属する関数のフーリエ級数は、ノルム収束するための必要十分条件は a > 0 かつ b < ∞ である。
• 空間 BSL(ψ) は可分かつ非反射的であり、ファトウ、ルベーグ、絶対連続ノルムの性質を満たす。