[論文レビュー] Bilateral symmetry and modified Pascal triangles in Parsimonious games

Flavio Pressacco, Giacomo Plazzotta+1 more|Institutional Research Information System (University of Udine)|Feb 20, 2014

Game Theory and Applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自由二進表現における左右対称性が、最小の勝利コалиションがちょうど n 個である定和同型加重多数決ゲーム（自己双子のパーサモンシャスゲーム）を一意に特徴づけることを確立している。修正されたパスカルの三角形（MPT）を導入し、パrameter n と h に対してそのゲームの基数を符号化する。MPT は、m が偶数で k が奇数のときのみ、和ではなく差に置き換えるという修正された再帰的規則に従う。これにより、偶奇に依存する単純な繁殖規則によって生成される自己双子ゲームの系統的木構造が得られる。

ABSTRACT

We discuss the prominent role played by bilateral symmetry and modified Pascal triangles in self twin games, a subset of constant sum homogeneous weighted majority games. We show that bilateral symmetry of the free representations unequivocally identifies and characterizes this class of games and that modified Pascal triangles describe their cardinality for combinations of m and k, respectively linked through linear transforms to the key parameters n, number of players and h, number of types in the game. Besides, we derive the whole set of self twin games in the form of a genealogical tree obtained through a simple constructive procedure in which each game of a generation, corresponding to a given value of m, is able to give birth to one child or two children (depending on the parity of m), self twin games of the next generation. The breeding rules are, given the parity of m, invariant through generations and quite simple.

研究の動機と目的

• 自己双子のパーサモンシャスゲームを、自由二進表現における左右対称性によって特徴づけること。
• 自己双子ゲームの数を n（プレイヤー数）と h（プレイヤーのタイプ数）の関数として閉形式の式で導出すること。
• 自己双子ゲームの基数を符号化する修正パスカルの三角形（MPT）を導入し、その再帰的規則を記述すること。
• 偶奇に依存する決定的繁殖プロセスを通じて、自己双子ゲームの系統的木構造を構築すること。
• MPT の再帰的規則が、古典的パスカルの三角形とは、m が偶数で k が奇数のときのみ異なり、この場合に和ではなく差が用いられることを示すこと。

提案手法

• 冗長な境界成分を除去することで、パーサモンシャスゲームの自由二進表現および自由タイプ表現を定義する。
• 自由二進ベクトルの構造的性質としての左右対称性を導入し、これが自由タイプベクトルの対称性を意味することを示す。
• 自己双子ゲームと左右対称な自由二進表現との間の一対一対応を確立する。
• 自己双子ゲームに n = m + 4 名のプレイヤーと h = k + 2 種類のプレイヤーを持つ場合の数を表す、修正パスカルの三角形 Γ(m,k) を定義する。
• Γ(m,k) の再帰的規則を導出する：大多数の場合は Γ(m,k) = Γ(m−1,k) + Γ(m−1,k−1) であるが、m が偶数で k が奇数の場合は Γ(m,k) = Γ(m−1,k) − Γ(m−1,k−1) である。
• 各ゲームがパrameter m を持つとき、m の偶奇に応じて 1 つまたは 2 つの子を生成する繁殖規則を定義し、MPT 構造を保つようにして、自己双子ゲームの系統的木構造を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての定和同型加重多数決ゲームの中で、自己双子のパーサモンシャスゲームを一意に特定する構造的性質は何か？
• RQ2 自己双子ゲームの数を n と h の関数として体系的に列挙する方法は何か？
• RQ3 自己双子ゲームの基数を符号化する修正パスカルの三角形の再帰的規則は何か？
• RQ4 決定的で偶奇に依存する繁殖プロセスを通じて、すべての自己双子ゲームを構成的に生成できるか？
• RQ5 修正パスカルの三角形の再帰的規則が古典的パスカルの三角形から逸脱するのはどのような場合か、そしてその理由は何か？

主な発見

• パーサモンシャスゲームの自由二進表現における左右対称性は、そのゲームが自己双子であるために必要かつ十分である。
• n = m + 4 名のプレイヤーと h = k + 2 種類のプレイヤーを持つ自己双子ゲームの数は、修正パスカルの三角形のエントリ Γ(m,k) で与えられる。
• 修正パスカルの三角形 Γ(m,k) は、m が偶数で k が奇数のときを除き、古典的パスカルの三角形のルールに従う。この場合、Γ(m,k) = Γ(m−1,k) − Γ(m−1,k−1) である。
• 自己双子ゲームの系統的木構造は、単純な繁殖規則によって生成される：パラメータ m が奇数のゲームは 1 つの子を生成し、m が偶数のゲームは 2 つの子を生成する。
• 修正パスカルの三角形 Γ(m,k) は、次のように二項係数と関連づけられる：m と k がともに偶数のとき Γ(m,k) = C(m/2, k/2)、m と k がともに奇数のとき Γ(m,k) = C((m−1)/2, (k−1)/2)、m が偶数で k が奇数のとき Γ(m,k) = 0。
• 非自己双子のパーサモンシャスゲームの数は、Δ(m,k) = 2Γ(m,k)（m が偶数で k が奇数のとき）、それ以外は Δ(m,k) = 2Γ(m,k）で与えられ、Θ = Δ/2 は正規化されたカウントを提供する。