[論文レビュー] BilevelJuMP.jl: Modeling and Solving Bilevel Optimization in Julia

Joaquim Dias Garcia, Guilherme Bodin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 6

ひとこと要約

BilevelJuMP.jl は、JuMP の代数的構文を用いて双層最適化問題のモデリングと解法を可能にする Julia パッケージであり、上層および下層の両方で、円錐、二次、非線形、整数制約をサポートする。これは、強duality、big-M、積法などの MPEC 変形を利用し、Ipopt、SCIP、Xpress などのソルバと統合することで、市販の MIP および NLP ソルバを用いて、複雑な双層モデルを迅速にプロトタイプ化および解くことを可能にする。

ABSTRACT

In this paper we present BilevelJuMP, a new Julia package to support bilevel optimization within the JuMP framework. The package is a Julia library that enables the user to describe both upper and lower-level optimization problems using the JuMP algebraic syntax. Due to the generality and flexibility our library inherits from JuMP's syntax, our package allows users to model bilevel optimization problems with conic constraints in the lower level and all JuMP supported constraints in the upper level (Conic, Quadratic, Non-Linear, Integer, etc.). Moreover, the user-defined problem can be subsequently solved by various techniques relying on mathematical program with equilibrium constraints (MPEC) reformulations. Manipulations on the original problem data are possible due to MathOptInterface.jl's structures and Dualization.jl features. Hence, the proposed package allows quickly model, deploy, and thereby experiment bilevel models based on off-the-shelf mixed integer linear programming and nonlinear solvers.

研究の動機と目的

• 既存の代数的モデリング言語における双層最適化のための柔軟で高水準のモデリング支援の欠如に対処すること。
• 直感的な JuMP 構文を用いて、下層に円錐制約を含む双層問題を表現できるようにすること。
• 強duality、big-M、積、および混合モードを含む複数の変形技術を統合したインターフェースを提供し、双層問題を単層形式に変換すること。
• MathOptInterface および Dualization.jl を介して、Ipopt、SCIP、Xpress などの確立されたソルバと統合することで、迅速なプロトタイプ作成と実験を可能にすること。
• 変数の境界処理と自動変形を提供する QuadraticToBinary などのパッケージを活用し、混合整数および非線形双層問題をサポートすること。

提案手法

• Upper() および Lower() スコープを用いて明示的に分離された上層および下層の最適化問題を、JuMP の代数的構文で定義する。
• MathOptInterface.jl を用いて問題構造を抽象的に表現・操作し、変形とソルバインターフェースの透明性を実現する。
• 強duality、Fortuny-Amat-McCarl の big-M、および積ベースの方法を含む MPEC 変形を適用し、双層問題を単層形式に変換する。
• SecondOrderCone() および SOCtoNonConvexQuad などのブリッジを用いて、下層に円錐制約をサポートし、NLP ソルバ向けに二次形式にマッピングする。
• MixedMode を用いて、各制約ごとに異なる変形戦略（例：インジケータ制約、積変形）を許容することで、混合モード変形を可能にする。
• 変数の境界処理とバイナリ展開を自動的に行うメタソルバ（例：QuadraticToBinary.Optimizer）を介して、外部ソルバと統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Julia の高水準な代数的モデリング言語を用いて、下層に円錐制約を有する双層最適化問題を効果的にモデリングおよび解く方法は何か？
• RQ2 市販のソルバに適した単層形式に変換するための最も効果的な変形戦略（例：強duality、big-M、積ベース）は何か？
• RQ3 自動変数境界処理およびバイナリ展開技術は、双層目的関数内の双線形項の取り扱いにどの程度効果をもたらすか？
• RQ4 異種の制約に対して、異なる変形技術（例：インジケータ制約と積変形）を組み合わせる混合モード変形戦略をどのように実装できるか？
• RQ5 Julia における高度なモデリングおよび変形ツールの統合により、多様な応用分野において双層モデルの迅速なプロトタイピングとデプロイメントが可能になるか？

主な発見

• BilevelJuMP.jl は、下層に円錐制約を、上層に広範な制約タイプ（円錐、二次、非線形、整数）を有する双層問題を、JuMP 構文を用いてモデリングすることを成功裏にサポートする。
• 強duality、big-M、積ベースの方法を含む複数の MPEC 変形技術をモジュラーインターフェースを通じて提供し、ユーザーが問題ごとに最も適切な戦略を選択できる。
• MOI ブリッジ（例：SOCtoNonConvexQuad）を介した Ipopt や SCIP への統合により、変形後に二次円錐制約を有する問題を NLP を用いて解くことが可能になる。
• MixedMode 変形戦略は、線形制約にはインジケータ制約、円錐制約には積変形を適用するなど、異なる変形技術を効果的に組み合わせ、MISOCP ソルバを用いた混合整数および非線形双層問題の解法を可能にする。
• QuadraticToBinary.Optimizer を介した自動変数境界処理およびバイナリ展開により、明示的な境界がない場合でも、双層目的関数内の双線形項を安定して処理できる。
• 実用性の検証として、Chi 他 (2014) の円錐双層問題を NLP および MIP に基づく変形で解く実行例が提供され、収束性と解の品質に優れた結果が得られた。