[論文レビュー] Bilinear forms on exact operator spaces and B(H)\otimes B(H)

Marius Junge, Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、正確な作用素空間上のトレース的有界な双線形形式を導入し、任意の正確な作用素空間から別の作用素空間の双対へ写像される完全有界線形写像がヒルベルト空間を介して因数分解できることを証明する。これにより、長年の未解決問題を解決し、$ B(H) \otimes B(H) $ が一つより多くの $ C^* $-ノルムを有することを示し、$ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $ を示す。また、$ n > 2 $ の場合、$ n $ 次元作用素空間の完全有界バナッハ＝マザール空間が非分離であることも確立する。

ABSTRACT

Let $E,F$ be exact operators (For example subspaces of the $C^*$-algebra $K(H)$ of all the compact operators on an infinite dimensional Hilbert space $H$). We study a class of bounded linear maps $u\colon E o F^*$ which we call tracially bounded. In particular, we prove that every completely bounded (in short $c.b.$) map $u\colon E o F^*$ factors boundedly through a Hilbert space. This is used to show that the set $OS_n$ of all $n$-dimensional operator spaces equipped with the $c.b.$ version of the Banach Mazur distance is not separable if $n>2$. As an application we show that there is more than one $C^*$-norm on $B(H)\otimes B(H)$, or equivalently that $$B(H)\otimes_{\min}B(H) ot=B(H)\otimes_{\max}B(H),$$ which answers a long standing open question. Finally we show that every ``maximal" operator space (in the sense of Paulsen) is not exact in the infinite dimensional case, and in the finite dimensional case, we give a lower bound for the ``exactness constant".

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題である、$ B(H) \otimes B(H) $ が一つより多くの $ C^* $-ノルムを有するかどうかを検討する。
• 正確な作用素空間間の有界線形写像 $ u: E \to F^* $ がトレース的有界である条件を特定する。
• 任意の正確な作用素空間から双対作用素空間への完全有界写像がヒルベルト空間を介して因数分解できることを確立する。
• この因数分解を用いて、$ n $ 次元作用素空間の空間が完全有界バナッハ＝マザール距離に関して $ n > 2 $ の場合非分離であることを示す。
• 無限次元において、ポールセンの意味での最大作用素空間はすべて正確でないことを証明し、有限次元における正確性定数の下界を提供する。

提案手法

• 写像 $ u: E \to F^* $ が、$ E \times F $ 上の関連する双線形形式がトレースに類似した有界性条件を満たす場合、それをトレース的有界写像と定義する。
• 作用素空間理論と完全有界写像の理論を用いて、このようなトレース的有界写像が因数分解定理によりヒルベルト空間を介して因数分解できることを示す。
• この因数分解結果を、$ B(H) $ が誘導する作用素空間構造を備えた $ n \times n $ 行列空間に適用し、$ n > 2 $ の場合、$ c.b. $ バナッハ＝マザール距離空間が非分離であることを示す。
• 最大作用素空間の非正確性を用いた反例を構成することで、$ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $ を示す。
• 双対性と $ K(H) $（コンパクト作用素）の構造を用いて、正確な作用素空間を $ B(H) $ に埋め込み、テンソルノルムの解析を可能にする。
• 有限次元最大作用素空間の非正確性を分析することで、その正確性定数の下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ B(H) \otimes B(H) $ が一つより多くの $ C^* $-ノルムを有するか、すなわち $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $ であるか？
• RQ2 任意の正確な作用素空間から別の作用素空間の双対への完全有界写像がヒルベルト空間を介して因数分解可能か？
• RQ3 完全有界バナッハ＝マザール距離を備えた $ n $ 次元作用素空間の空間は $ n > 2 $ の場合非分離か？
• RQ4 ポールセンの意味での最大作用素空間は無限次元において正確か？
• RQ5 有限次元最大作用素空間の正確性定数の最良の下界は何か？

主な発見

• この論文は、$ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $ を証明し、作用素代数における長年の未解決問題を解決した。
• 任意の正確な作用素空間間の完全有界写像 $ u: E \to F^* $ は、有界にヒルベルト空間を介して因数分解可能である。
• 完全有界バナッハ＝マザール距離を備えた $ n $ 次元作用素空間の空間 $ OS_n $ は $ n > 2 $ の場合非分離である。
• すべての無限次元最大作用素空間（ポールセンの意味）は正確でない。
• 有限次元最大作用素空間の正確性定数は、正の普遍定数より大きい下界で抑えられるが、正確な値は計算されていない。