[論文レビュー] Bimatrix variate generalised beta distributions

José A. Dı́az-Garcı́a, Ramón Gutiérrez Jáimez|ArXiv.org|Apr 11, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、3つの独立な行列変量ガンマ変数を用いて従属する確率的行列をモデル化する、行列変量ベータ分布の拡張として二行列変量一般化ベータ分布を導入する。主な貢献は、これらの分布の正確な確率密度関数およびモーメントの導出であり、これにより時系列観測における依存性仮定のもとで多変量解析、多次元スケーリング、形状論への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we extend the study of bivariate generalised beta type I and II distributions to the matrix variate case.

研究の動機と目的

• 3つの独立な行列変量ガンマ分布に従う確率的行列を用いて、二行列変量一般化ベータ分布を定義することで、行列変量ベータ分布を一般化すること。
• 繰り返し測定や時系列観測から生じる2つの確率的行列間の依存性をモデル化すること。
• 二行列変量一般化ベータ分布の正確な同時密度関数およびモーメント母関数を導出すること。
• 非i.i.d.仮定のもとでの多次元スケーリングおよびアフィン形状解析への応用のための理論的基盤を提供すること。
• 既存の単変量および行列変量ベータモデルを明示的なパrameterizationおよび分布的性質を有する二行列フレームワークに拡張すること。

提案手法

• 二行列変量一般化ベータ分布は、パrameter $a$, $b$, $c$ を持つ3つの独立な行列変量ガンマ分布に従う確率的行列の変換によって定義される。
• 対称正定値行列に対して変数変換とヤコビアン行列式を用いて、$\mathbf{U}_1$ と $\mathbf{U}_2$ の同時密度が導出される。
• 既知の積分表現を活用して、行列引数を伴う超幾何関数 ${}_3F_2$ を用いて分布が特徴付けられる。
• 超幾何関数および多変量ベータ関数を含む積分恒等式を用いて、$\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ 形式のモーメントが導出される。
• $\mathbf{U}_1$ および $\mathbf{U}_2$ の逆変換が用いられ、$\mathbf{V}_1 = \mathbf{U}_1^{-1}$ および $\mathbf{V}_2 = \mathbf{U}_2^{-1}$ の密度が導出され、逆行列を用いた新たな密度表現が得られる。
• 理論的結果は、ジャック多項式および行列引数を伴う超幾何関数の計算アルゴリズムの使用によって裏付けられ、数値的評価が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返し観測または2つの時系列時刻から生じる2つの従属する確率的行列をモデル化するため、行列変量ベータ分布をどのように拡張できるか。
• RQ2 3つの独立な行列変量ガンマ変数を含む二行列変量一般化ベータ分布の正確な同時確率密度関数は何か。
• RQ3 行列引数を伴う特殊関数を用いて、この二行列分布における $\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ 形式のモーメントをどのように導出できるか。
• RQ4 $\mathbf{U}_1^{-1}$ および $\mathbf{U}_2^{-1}$ の分布は何か。また、元の二行列分布とはどのように関係しているか。
• RQ5 この二行列分布は、時間的依存性を想定した多次元スケーリングや形状解析における学習効果のモデル化に、どのような形で応用できるか。

主な発見

• 行列 $\mathbf{U}_1$ と $\mathbf{U}_2$ の同時密度は、$\mathbf{0} < \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2 < \mathbf{I}_m$ および $\mathbf{U}_1 + \mathbf{U}_2 < \mathbf{I}_m$ を満たす範囲で、$\frac{1}{\beta^*_m[a,b,c]} |\mathbf{U}_1|^{a-(m+1)/2} |\mathbf{U}_2|^{b-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_1|^{c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_2|^{c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_1 - \mathbf{U}_2|^{a+b+c-(m+1)/2} (d\mathbf{U}_1)(d\mathbf{U}_2)$ として導出される。
• モーメント $\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ は、行列引数を伴う一般化超幾何関数 ${}_3F_2$ を用いて表現され、適切なパrameter制約のもとで解析的計算が可能になる。
• 逆変換により、$\mathbf{V}_1 = \mathbf{U}_1^{-1}$ および $\mathbf{V}_2 = \mathbf{U}_2^{-1}$ の密度は、$\frac{|\mathbf{V}_1|^{-a-(m+1)/2} |\mathbf{V}_2|^{-b-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{V}_1^{-1}|^{b+c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{V}_2^{-1}|^{a+c-(m+1)/2}}{\beta^*_m[a,b,c] |\mathbf{I}_m - (\mathbf{V}_1\mathbf{V}_2)^{-1}|^{a+b+c}} (d\mathbf{V}_1)(d\mathbf{V}_2)$ として得られ、$\mathbf{0} < \mathbf{V}_1, \mathbf{V}_2 < \mathbf{I}_m$ の範囲で有効である。
• この分布が、2つの時刻における類似性行列が独立でないという時間的依存性を有する多次元スケーリングのモデル化に適していることが示された。
• 理論的枠組みは、特にカウチ配置密度の一般化として、アフィン形状論への応用を支持している。
• KoevとEdelmanのアルゴリズムを用いることで、行列変量超幾何関数の計算が可能となり、導出された密度関数およびモーメントの効率的数値評価が可能になった。