[論文レビュー] Biminimal immersions in space forms

E. Loubeau, Stefano Montaldo|arXiv (Cornell University)|May 17, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、空間形式における正規変化の下での双エネルギーの臨界点である二最小埋め込み—を研究し、二最小曲線および余次元1の等長埋め込み（特に3次元空間形式における曲面）のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。また、リーマン幾何的および水平に同様形の準同型写像を用いた2つの構成法を導入し、空間形式における新たな二最小曲面の族を生成する。

ABSTRACT

Abstract. We study biminimal immersions, that is immersions which are critical points of the bienergy for normal variations. We give a description of the Euler-Lagrange equation associated to biminimal immersions for: i) biminimal curves in a Riemannian manifold, with particular care to the case of curves in a space form ii) isometric immersions of codimension 1 in a Riemannian manifold, in particular for surfaces of a three dimensional space form. We describe two methods to construct biminimal surfaces in a space form using both Riemannian and horizontally homothetic submersions. 1.

研究の動機と目的

• リーマン多様体における正規変化の下で双エネルギーの臨界点として二最小埋め込みを特徴付けること。
• 特に空間形式における二最小曲線のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• 余次元1の等長埋め込みを分析し、特に3次元空間形式における曲面に焦点を当てる。
• 幾何的準同型写像を用いた、空間形式における二最小曲面の生成のための構成的手法を開発すること。
• 特にリーマン的および水平に同様形の構造を用いて、準同型写像が二最小埋め込みをもたらす条件を確立すること。

提案手法

• 正規変化に関して双エネルギー汎関数を変分することで、二最小埋め込みのオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 導出された方程式を用い、空間形式における二最小曲線を研究し、曲率と幾何的制約に特に注目する。
• 余次元1の等長埋め込みを解析する際、双エネルギーの変分を平均曲率および第二基本形式で表現する。
• リーマン準同型写像を用い、底面多様体からの二最小構造を全空間に持ち上げ、特定の条件下で二最小性を保つ。
• 水平に同様形の準同型写像を導入し、水平分布および計量スケーリングを制御することで、空間形式における二最小曲面の構成に用いる。
• 曲率および同様形性の性質に基づき、準同型写像による二最小埋め込みの引き戻しが二最小性を保つための基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーマン多様体における二最小埋め込みを支配するオイラー＝ラグランジュ方程式は何か？
• RQ2 空間形式における二最小曲線はどのように振る舞い、その臨界性から生じる幾何的制約は何か？
• RQ3 3次元空間形式における曲面の等長埋め込みが二最小となる条件は何か？
• RQ4 リーマン準同型写像を用いて、空間形式における二最小曲面の新たな例を生成できるか？
• RQ5 水平に同様形の準同型写像は、空間形式における二最小埋め込みの構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 二最小埋め込みのオイラー＝ラグランジュ方程式は、双テンソル場を含み、平均曲率および第二基本形式で表現される。
• 空間形式における二最小曲線では、条件が曲率と環境の曲率の間の関係に簡略化され、特定の幾何的制約が得られる。
• 余次元1の場合、二最小埋め込みは平均曲率とその平均曲率のヘッセ形式を結ぶ条件を満たし、内面的および外面的曲率のバランスを反映する。
• 底面の埋め込みが二最小であり、かつ準同型写像が必要な幾何的構造を保つ場合、リーマン準同型写像を用いて空間形式における二最小曲面を生成できる。
• 水平に同様形の準同型写像を用いることで、水平計量を制御的にスケーリングし、双エネルギーの変分が消えるようにすることで、二最小曲面の構成が可能になる。
• 本稿では、これらの準同型写像技術を用いて、空間形式における明示的な二最小曲面の族を構成し、非最小の二最小埋め込みの存在を示している。