[論文レビュー] Bimodules over Cartan MASAs in von Neumann Algebras, Norming Algebras, and Mercer's Theorem

Jan Cameron, David R. Pitts+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、バナッハ代数のスペクトル定理に依存しない、シグマ弱連続なカルタン双モジュール同型写像がフォン・ノイマン代数に拡張されることの修正証明を提供する。この拡張は、分離可能双対を仮定しないで一意的に行われ、ノーミング代数技法とBures位相による双モジュールの射影によるパrametrizationを用いる。

ABSTRACT

In a 1991 paper, R. Mercer asserted that a Cartan bimodule isomorphism between Cartan bimodule algebras A_1 and A_2 extends uniquely to a normal *-isomorphism of the von Neumann algebras generated by A_1 and A_2 [13, Corollary 4.3]. Mercer's argument relied upon the Spectral Theorem for Bimodules of Muhly, Saito and Solel [15, Theorem 2.5]. Unfortunately, the arguments in the literature supporting [15, Theorem 2.5] contain gaps, and hence Mercer's proof is incomplete. In this paper, we use the outline in [16, Remark 2.17] to give a proof of Mercer's Theorem under the additional hypothesis that the given Cartan bimodule isomorphism is weak-* continuous. Unlike the arguments contained in [13, 15], we avoid the use of the Feldman-Moore machinery from [8]; as a consequence, our proof does not require the von Neumann algebras generated by the algebras A_i to have separable preduals. This point of view also yields some insights on the von Neumann subalgebras of a Cartan pair (M,D), for instance, a strengthening of a result of Aoi [1]. We also examine the relationship between various topologies on a von Neumann algebra M with a Cartan MASA D. This provides the necessary tools to parametrize the family of Bures-closed bimodules over a Cartan MASA in terms of projections in a certain abelian von Neumann algebra; this result may be viewed as a weaker form of the Spectral Theorem for Bimodules, and is a key ingredient in the proof of our version of Mercer's theorem. Our results lead to a notion of spectral synthesis for weak-* closed bimodules appropriate to our context, and we show that any von Neumann subalgebra of M which contains D is synthetic. We observe that a result of Sinclair and Smith shows that any Cartan MASA in a von Neumann algebra is norming in the sense of Pop, Sinclair and Smith.

研究の動機と目的

• 1991年のメルサーの証明におけるギャップを是正する。この証明は、不成立な双モジュールのスペクトル定理に依存していた。
• 代わりに、フェルドマン＝ムーアの道具立てを避ける代替的アプローチを用いて、同型写像がσ-弱連続であるという追加仮定の下で、拡張結果を確立する。
• アーベルフォン・ノイマン代数内の射影を用いて、カルタンMASA上のBures閉じた双モジュールをパラメータ化し、双モジュールのスペクトル定理の弱形を提供する。
• σ-弱閉じた双モジュールにおけるスペクトル合成の概念を導入・発展させ、カルタンMASAを含む任意のフォン・ノイマン部分代数が合成的であることを示す。
• カルタンMASAを有するフォン・ノイマン代数上の位相、特にBures位相とL²位相の関係を明確にし、σ-弱連続写像がBures連続であることを示す。

提案手法

• 文献[16, Remark 2.17]の概要に従い、σ-弱連続なカルタン双モジュール同型写像を生成されたフォン・ノイマン代数上での正規*同型写像に拡張する。
• ポップ、シンクレイン、スミスの意味でのノーミング代数の概念を用い、任意のカルタンMASAがノーミングであるという事実を用いて、連続性および稠密性の性質を確立する。
• アーベルフォン・ノイマン代数内の射影を用いて、カルタンMASA上のBures閉じた双モジュールをパラメータ化し、証明の主要な技術的ツールを提供する。
• Bures位相を用いてネットの収束を分析し、σ-弱連続写像がBures連続であることを示し、これにより元の代数上での写像が恒等写像であることを証明する。
• 一般化された正規化子の構造と条件付き期待値Eを活用し、代数の元を凸結合として表現することで、連続性の議論を可能にする。
• 一般化された正規化子に属するvおよび代数に属するxに対して、恒等式\theta(vE_1(v^*x)) = \overline{\theta}(v)E_2(\overline{\theta}(v)^*\theta(x))を用い、稠密部分代数上の作用と拡張写像との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ-弱連続なカルタン双モジュール同型写像が、カルタンMASAを有する2つのフォン・ノイマン代数間で定義された場合、生成された代数上で一意的に正規*同型写像に拡張されるか？
• RQ2 分離的双対を仮定せず、また不成立な双モジュールのスペクトル定理（ムーハリー＝サイト＝ソレル）に依存しないで、拡張結果を証明できるか？
• RQ3 カルタンMASAを有するフォン・ノイマン代数上でのBures位相とL²位相の関係は何か？この関係は写像の連続性にどのように影響するか？
• RQ4 カルタンMASA上のBures閉じた双モジュールは、あるアーベルフォン・ノイマン代数内の射影によってパラメータ化できるか？このことは、このような双モジュールの構造にどのような含意を持つか？
• RQ5 カルタンMASAを含む任意のフォン・ノイマン部分代数は、σ-弱閉じた双モジュールにおけるスペクトル合成の意味で合成的生成可能か？

主な発見

• 本論文は、カルタンMASAを有するフォン・ノイマン代数\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2のσ-弱閉部分代数\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2間の任意のσ-弱連続カルタン双モジュール同型写像\theta: \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2が、分離的双対を仮定しないで、一意的に正規*同型写像\overline{\theta}: \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2に拡張されることを確立する。
• 拡張\overline{\theta}はBures連続であり、\overline{\theta}を\mathcal{A}_1に制限したものは\thetaと一致する。これは、一般化された正規化子上の有限和のBures収束を用いて示される。
• 本論文は、特定のアーベルフォン・ノイマン代数内の射影を用いて、カルタンMASA上のBures閉じた双モジュールをパラメータ化する。これは、双モジュールのスペクトル定理の弱形を提供する。
• カルタンMASA\mathcal{D}を含むフォン・ノイマン代数\mathcal{M}の任意の部分代数は、合成的であることが示され、すなわち、それらを含むすべてのσ-弱閉双モジュールの共通部分集合である。
• 証明はフェルドマン＝ムーアの構成や双モジュールのスペクトル定理の使用を避け、代わりにノーミング代数技法とBuresおよびL²位相の位相的性質に依存する。
• 本論文は、フォン・ノイマン代数内の任意のカルタンMASAが、ポップ、シンクレイン、スミスの意味でノーミングであることを確認し、この性質が連続性および稠密性の結果を確立する上で中心的な役割を果たす。