[論文レビュー] Bin Packing Under Multiple Objectives - a Heuristic Approximation Approach

Martin Josef Geiger|ArXiv.org|Sep 4, 2008

Optimization and Packing Problems参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、複数の目的のナップサックパッキング問題に対するヒューリスティック近似手法を提案し、最良適合（Best-Fit）アルゴリズムを拡張して、名義的属性を用いて同時にバインの数とバイン内アイテムの平均非均一性を最小化する。この手法は、パレート最適なフロントに近い近似を達成しており、アイテムの重さの降順が大規模なインスタンスにおいて顕著に結果を改善し、1,000アイテム問題においてもサブ秒の実行時間を維持する。

ABSTRACT

The article proposes a heuristic approximation approach to the bin packing problem under multiple objectives. In addition to the traditional objective of minimizing the number of bins, the heterogeneousness of the elements in each bin is minimized, leading to a biobjective formulation of the problem with a tradeoff between the number of bins and their heterogeneousness. An extension of the Best-Fit approximation algorithm is presented to solve the problem. Experimental investigations have been carried out on benchmark instances of different size, ranging from 100 to 1000 items. Encouraging results have been obtained, showing the applicability of the heuristic approach to the described problem.

研究の動機と目的

• アイテム属性の非均一性をバイン数の最小化と併せて組み込むことにより、複数目的のナップサックパッキング研究におけるギャップを埋める。
• 対立する目的を有する二目的最適化として問題を定式化する：バイン数の最小化と平均バイン非均一性の最小化。
• 物流およびデータストレージ分野における実用的応用を想定し、効率的解のパレート集合を近似するヒューリスティックを開発する。
• さまざまなインスタンスサイズにおける解の品質に与えるアイテム順序戦略の影響を調査する。
• メタヒューリスティックフレームワークにおける初期解生成に適した計算的に効率的な手法を提供する。

提案手法

• アイテム属性に基づくランダム選択メカニズムを最良適合アルゴリズムに拡張し、バイン数と非均一性の両方をバランスさせる。
• 容量制約と属性多様性の両方を考慮するパラメータ化されたバイン選択ルールを導入し、パッキング意思決定をガイドする。
• 支配関係に基づくベクトル評価フレームワークを用いる：ある解がすべての目的で劣っておらず、少なくとも1つの目的で厳密に優れている場合、その解は支配する。
• 重さの降順、昇順、ランダム順の複数のアイテム順序を用いてアルゴリズムを適用し、感度と性能のばらつきを評価する。
• バインごとの平均非均一性を $ z_2 = \frac{1}{z_1} \sum_{i=1}^{n} u_i $ で計算する。ここで $ u_i $ はバイン $ i $ 内の異なる属性の数を表す。
• 解の集合を維持し、$ z_1 $（バイン数）と $ z_2 $（平均非均一性）のトレードオフを探索することで、パレートフロントの近似を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 属性に基づく非均一性の組み込みが、ナップサックパッキングにおける解の品質とトレードオフ構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 修正された最良適合ヒューリスティックは、二目的ナップサックパッキング問題のパレート最適フロントを効果的に近似できるか？
• RQ3 アイテム順序（重さの降順、昇順、ランダム）が大規模インスタンスの解の品質に与える影響は何か？
• RQ4 ヒューリスティックアプローチは、バイン数と非均一性の両方において理論的最小値にどの程度近づけるか？
• RQ5 提案手法は、より複雑なメタヒューリスティクスのウォームスタートとして十分に計算的に効率的か？

主な発見

• n = 100 の場合、重さの降順順序を用いた最良適合アルゴリズムが、(43, 1.000) という最良の既知の解を達成し、バイン数と非均一性の両方を最小化した。
• n = 200 の場合、重さの降順順序を用いた最良適合アルゴリズムが (41, 1.927) の解を発見し、他の順序やランダム適合（Random-Fit）バージョンを上回った。
• n = 500 の場合、重さの降順順序を用いた最良適合アルゴリズムが (102, 1.000) に到達したのに対し、ランダム適合は (104, 1.000) を達成し、入力順序の影響がわずかだが一貫して顕著に現れた。
• n = 1000 の場合、重さの降順順序を用いた最良適合アルゴリズムが (203, 1.000) を生成し、全テスト手法および順序の中で最高の結果を達成した。
• ランダム順序は大規模インスタンスで著しく劣り、n = 1000 の場合、ランダム適合は (202, 3.238) のような解を生成し、非均一性が著しく高くなった。
• アルゴリズムは理論的最小バイン数に一貫して到達できず、すべてのインスタンスで最良の $ z_1 $ 値が下限より1バイン多い結果となった。