[論文レビュー] Binary Bell polynomials approach to the integrability of nonisospectral and variable-coefficient nonlinear equations

Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、変数係数および非等スペクトル非線形方程式、たとえば変数係数KdV（vc-KdV）およびKP（vc-KP）方程式の完全可積分性を体系的に分析するため、二値ベル多項式手法を拡張する。二値ベル多項式を活用することで、双線形のバッケランド変換、ラクス対、ドーヴォー共変ラクス作用素、および明示的な再帰公式を有する無限個の保存則を効率的に導出する。これは、変数係数の下でも特定の係数制約のもとで可積分性が保たれることを示している。

ABSTRACT

Recently, Lembert, Gilson et al proposed a lucid and systematic approach to obtain bilinear Bäcklund transformations and Lax pairs for constant-coefficient soliton equations based on the use of binary Bell polynomials. In this paper, we would like to further develop this method with new applications. We extend this method to systematically investigate complete integrability of nonisospectral and variable-coefficient equations. In addiction, a method is described for deriving infinite conservation laws of nonlinear evolution equations based on the use of binary Bell polynomials. All conserved density and flux are given by explicit recursion formulas. By taking variable-coefficient KdV and KP equations as illustrative examples, their bilinear formulism, bilinear Bäcklund transformations, Lax pairs, Darboux covariant Lax pairs and conservation laws are obtained in a quick and natural manner. In conclusion, though the coefficient functions have influences on a variable-coefficient nonlinear equation, under certain constrains the equation turn out to be also completely integrable, which leads us to a canonical interpretation of their $N$-soliton solutions in theory.

研究の動機と目的

• 非等スペクトルおよび変数係数非線形方程式への二値ベル多項式手法の体系的拡張を目的とし、定数係数の場合よりも複雑である。
• 統一的な枠組みを用いて、変数係数KdVおよびKP方程式に対する双線形バッケランド変換およびラクス対を体系的に導出する。
• 二値ベル多項式をリッカティ型および発散型方程式に分解することにより、無限保存則を構成する新しい手法を開発する。
• ラクス対や保存則といった主要な可積分性特徴を維持するための変数係数に対する可積分性制約を同定する。
• 変数係数方程式が、定数係数の場合と同様に特定の係数制約のもとで完全可積分性を保持できることを示す。

提案手法

• 多次元二値ベル多項式を用いて双線形可能方程式を特徴づけ、可積分構造を導出する。
• 2変数条件分解を用いてベル多項式をリッカティ型および発散型方程式に分割し、保存則の構成に用いる。
• 体系的な多項式変形を用いて、vc-KdVおよびvc-KP方程式に対して双線形形態、バッケランド変換、ラクス対を導出する。
• パラメータ $\varepsilon$ における漸近展開を用いて、保存密度 $I_n$ およびフラックス $F_n$, $G_n$ の再帰公式を通じて無限保存則を導出する。
• 係数制約 $h_3 h_1^{-1} = \text{constant}$ の下で、ラクス作用素のドーヴォー共変性を確立する。
• 従属変数変換およびポテンシャル関数（例：$\eta = (q'_x - q_x)/2$）を用いて、解析のためのシステムを簡略化および分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値ベル多項式手法を非等スペクトルおよび変数係数非線形偏微分方程式に体系的に拡張できるか？
• RQ2 非線形方程式が完全可積分性を保つために必要な変数係数の条件は何か？
• RQ3 ベル多項式を用いて、変数係数方程式の無限保存則をどのように構成できるか？
• RQ4 変数係数方程式の文脈において、双線形バッケランド変換とラクス対の関係は何か？
• RQ5 変数係数KdVおよびKP方程式に対して、ドーヴォー共変ラクス対が存在する係数制約は何か？

主な発見

• vc-KdVおよびvc-KP方程式は、二値ベル多項式を用いて導出された双線形バッケランド変換およびラクス対を有し、特定の係数制約のもとで可積分性が確認される。
• この手法は自然に可積分性制約を同定する。たとえば $h_2 = 6h_1 e^{\tiny{\textstyle\textstyle\frac{1}{2}}\int h_7 dt}$ であり、これは双線形形態およびラクス対の存在を保証する。
• 無限保存則は明示的再帰公式を用いて構成される：$I_1 = -\frac{1}{2} u e^{\int h_4 dt}$, $I_2 = \frac{1}{4} e^{\int h_4 dt}(u_{2x} + \alpha \partial_x^{-1} u_y)$, および $n \geq 2$ に対して $I_n = -\frac{1}{2}(I_{n,x} + \sum_{k=1}^n I_k I_{n-k} + \alpha \partial_x^{-1} I_{n,y})$。
• フラックス $F_n$ および $G_n$ は $I_n$ の関数として明示的に表現され、$F_1 = h_1 I_{1,2x} - 6\alpha h_1 I_1^2 - 6\alpha h_1 \partial_x^{-1} I_{2,y} + (h_5 + h_6 y) I_1$ である。
• 係数制約 $h_3 h_1^{-1} = \text{constant}$ の下で、ラクス作用素のドーヴォー共変性が確立され、vc-KP階層の高次のメンバーが得られる。
• vc-KP方程式が $I_{n,t} + F_{n,x} + G_{n,y} = 0$ の形の無限保存則を有することを示し、$I_n$ およびフラックスが再帰的に導出されることにより、導出された係数制約のもとで完全可積分性が確認される。