[論文レビュー] Binary Linear Locally Repairable Codes

Pengfei Huang, Eitan Yaakobi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フェイクパリティーチェック記号とマルチレベルテンソル積構造を用いて、パrameterが柔軟な新しい2進線形局所修復可能コード（LRC）の構成を提示する。体のサイズを考慮した最小距離の上界を確立し、提案されたコードが与えられたパラメータに対して最適または準最適な最小距離を達成していることを示す。同時に、巡回符号やLDPC符号などの古典的符号におけるローカリティと可用性についても分析している。

ABSTRACT

Locally repairable codes (LRCs) are a class of codes designed for the local correction of erasures. They have received considerable attention in recent years due to their applications in distributed storage. Most existing results on LRCs do not explicitly take into consideration the field size $q$, i.e., the size of the code alphabet. In particular, for the binary case, only a few results are known. In this work, we present an upper bound on the minimum distance $d$ of linear LRCs with availability, based on the work of Cadambe and Mazumdar. The bound takes into account the code length $n$, dimension $k$, locality $r$, availability $t$, and field size $q$. Then, we study binary linear LRCs in three aspects. First, we focus on analyzing the locality of some classical codes, i.e., cyclic codes and Reed-Muller codes, and their modified versions, which are obtained by applying the operations of extend, shorten, expurgate, augment, and lengthen. Next, we construct LRCs using phantom parity-check symbols and multi-level tensor product structure, respectively. Compared to other previous constructions of binary LRCs with fixed locality or minimum distance, our construction is much more flexible in terms of code parameters, and gives various families of high-rate LRCs, some of which are shown to be optimal with respect to their minimum distance. Finally, availability of LRCs is studied. We investigate the locality and availability properties of several classes of one-step majority-logic decodable codes, including cyclic simplex codes, cyclic difference-set codes, and $4$-cycle free regular low-density parity-check (LDPC) codes. We also show the construction of a long LRC with availability from a short one-step majority-logic decodable code.

研究の動機と目的

• 既存のLRCの上限において、特に2進符号に対して体のサイズが明示的に考慮されていない点を是正すること。
• コード長、次元、最小距離、ローカリティを調整可能な柔軟な2進LRCの構成を実現すること。
• 巡回符号、リード＝マラー符号、LDPC符号などの古典的2進符号におけるローカリティと可用性を分析すること。
• 1ステップ多数決論理可解符号から短いLRCを構築し、テンソル積構造を用いて長いLRCを体系的に構成すること。
• ローカリティと可用性を備えた2進LRCの最小距離に関する理論的上限を確立し、先行研究を改善すること。

提案手法

• Cadambе-Mazumdarの枠組みを拡張し、体のサイズ q、長さ n、次元 k、ローカリティ r、可用性 t を含めた、2進線形LRCの最小距離に対する新しい上界を導出する。
• 拡張、短縮、除去、拡張、長さ延長などの操作を用いて、古典的2進符号（巡回、リード＝マラー、LDPC）およびその変種におけるローカリティと可用性を分析する。
• 望ましいパラメータを達成する高レート2進LRCを実現するために、「フェイク」パリティーチェック記号を用いた構成を提案する。
• 1ステップ多数決論理可解符号のパリティーチェック行列をブロックとして用いる、マルチレベルテンソル積構造を導入し、すべての記号にローカリティと可用性を持つ長いLRCを生成する。
• r=3、t=4 の [15,7,5] 2進BCH符号のパリティーチェック行列（H′₁）をテンソルに基づく構成に用い、r=3、t=4 の新しい [15ℓ, 7ℓ−2, 7] LRC を生成する。
• 境界式 (6) および (9) を用いて、最小距離 (du) と可用性 (tu) の理論的限界を評価し、構成された符号のパラメータと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体のサイズ、ローカリティ、可用性を考慮した2進線形LRCの最小距離に対する最もタイトな上界は何か？
• RQ2 コードパラメータ（n, k, d, r, t）を柔軟に制御し、高レートかつ最小距離が最適な2進LRCをどのように構成できるか？
• RQ3 巡回単体符号、差集合符号、4サイクル自由LDPC符号などの古典的2進符号におけるローカリティと可用性の性質は何か？
• RQ4 短い1ステップ多数決論理可解符号から、高い可用性を持つ長い2進LRCを体系的に構成できるか？
• RQ5 構成された2進LRCが、既知の最小距離の上限に対してどの程度最適性に近いか？

主な発見

• ローカリティ r と可用性 t を有する2進LRCの最小距離に対する提案された上界は、体のサイズ q を明示的に組み込むことで、先行研究のものよりも改善されている。
• 最小距離 d=3 または d=4 の構成された2進LRCは、最小距離の上限に関して最適であることが証明されている。
• テンソル積を用いて構成された [15ℓ, 7ℓ−2, 7] LRC は、すべての記号にローカリティ r=3 と可用性 t=4 を達成しており、ℓ を用いたスケーラビリティが保証されている。
• 長さ 2^m−1 の巡回2進単体符号は、すべての記号にローカリティ r=2 と可用性 t=2^{m−1}−1 を達成し、Plotkinの上限により最小距離が最適である。
• 2次元タイプI巡回 (0,m) 階のEG-LDPC符号は r=2^m−1 と t=2^m を達成し、m=5 の場合、n=1023、k=781、d=33、r=31、t=32 となり、du=80 と tu=32 を達成する。
• 1ステップ多数決論理可解符号を短いLRCとして用い、マルチレベルテンソル積構造を用いて長いLRCを構成する手法により、スケーラブルで高レートの符号が得られ、ローカリティと可用性が保証される。