[論文レビュー] Binary modules and their endomorphisms

Hans Schoutens|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、基本的サイクルの係数が 0 または 1 のみであるノーザリアン環上の有限生成加群である二進モジュラー（binary modules）を導入し、その自己準同型環からべき零自己準同型を商取った商環が可換であることを示している。主な結果は、埋め込まれた素イデアルをもたない二進モジュラーに対して、自己準同型環が可換であり、かつそのようなモジュラーが可換環のイデアルとして埋め込めるということである。

ABSTRACT

Based upon properties of ordinal length, we introduce a new class of modules, the binary modules, and study their endomorphism ring. The nilpotent endomorphisms form a two-sided ideal, and after factoring this out, we get a commutative ring. In particular, any binary module without embedded primes is isomorphic to an ideal in a reduced ring.

研究の動機と目的

• 順序数長と基本的サイクルの性質を用いて二進モジュラーを定義・研究すること。
• 特にべき零自己準同型の役割に注目して、このようなモジュラーの自己準同型環の構造を分析すること。
• 埋め込まれた素イデアルをもたない二進モジュラーが、可換環のイデアルとして表現可能であることを、可換な自己準同型環を用いて特徴付けること。
• 単一値（valence 1）の場合を一般化して、より高い値の二進モジュラーに拡張すること。
• 埋め込まれた素イデアルを有する・ないにかかわらず、二進モジュラーの上部圧縮可能性（top-compressibility）および構造的性質を確立すること。

提案手法

• 順序数長のカントール標準形において、すべての係数が 0 または 1 であることを用いて二進モジュラーを定義する。
• ゼロ次局所コホモロジーに関連するモジュラーの基本的サイクルを用い、次数（valence）および二進性を定義する。
• 順序数長の半加法性とコホモロジー的特徴づけを適用し、構造的結果を導出する。
• 二進モジュラーの自己準同型環において、べき零自己準同型が両側イデアルをなすことを証明する。
• べき零イデアルを商取ることで、可換な商環が得られることを示し、関連素イデアルのposetの長さに関する帰納法を用いる。
• Vasconcelosの定理を用いて、埋め込まれた素イデアルをもたない忠実な二進モジュラーを、可換環のイデアルとして埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的サイクルの係数が 0 または 1 のみであるようなモジュラーに、どのような構造的性質が現れるか？
• RQ2 二進モジュラーの自己準同型環は、特にべき零元に関してどのように振る舞うか？
• RQ3 二進モジュラーの自己準同型環が可換になる条件は何か？
• RQ4 埋め込まれた素イデアルをもたない二進モジュラーは、可換環のイデアルとして埋め込めるか？
• RQ5 二進モジュラーにおける上部圧縮可能性と、埋め込まれた素イデアルの不在との関係は何か？

主な発見

• 二進モジュラーにおけるべき零自己準同型の集合は、自己準同型環において両側イデアルをなす。
• べき零イデアルを商取った後、自己準同型環は可換になる。
• 埋め込まれた素イデアルをもたない二進モジュラーに対しては、自己準同型環が可換であり、かつそのモジュラーは可換環のイデアルとして埋め込める。
• 二進モジュラーにおける自己準同型のべき零指数は、関連素イデアルのposetの長さによって上から抑えられる。
• 埋め込まれた素イデアルをもたない二進モジュラーは上部圧縮可能（top-compressible）であり、すなわち、その任意の開部分モジュラーに埋め込める。
• 二進環が上部圧縮可能であることは、それが埋め込まれた素イデアルをもたないことに同値である。