[論文レビュー] Binary Nonlinearization of Lax Pairs

Wen‐Xiu Ma, Benno Fuchssteiner|ArXiv.org|May 31, 1996

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ソリトン階層におけるLax対および随伴Lax対に対して、バーガン・対称性制約を用いて非線形化を行う二値非線形化手順を導入し、無限次元可積分系を有限次元可換ハミルトニアン系に非線形化する。主な貢献は、変数分離を用いた明示的・有限ギャップ的・自己同型的解の構成であり、AKNS階層における明示的ハミルトニアン構造および運動積分の具体例が示されている。

ABSTRACT

A kind of Bargmann symmetry constraints involving Lax pairs and adjoint Lax pairs is proposed for soliton hierarchy. The Lax pairs and adjoint Lax pairs are nonlinearized into a hierarchy of commutative finite dimensional integrable Hamiltonian systems and explicit integrals of motion may also be generated. The corresponding binary nonlinearization procedure leads to a sort of involutive solutions to every system in soliton hierarchy which are all of finite gap. An illustrative example is given in the case of AKNS soliton hierarchy.

研究の動機と目的

• ソリトン階層におけるLax対および随伴Lax対を同時に非線形化するためのモノ非線形化の拡張を図ること。
• 無限次元ソリトン方程式から有限次元可積分ハミルトニアン系を生成する二値非線形化フレームワークの構築。
• 非線形ソリトン方程式に対する自己同型的解を用いた変数分離の手法の提供。
• 得られた系における明示的運動積分および有限ギャップ的性質の構成の実証。
• 対称性制約を通じて、有限次元可積分系と無限次元ソリトン方程式との間のギャップを埋める。

提案手法

• スペクトルパラメータのポテンシャルに関する変分導関数を用いてバーガン対称性制約を導入する。
• 制約を $ G_0 = \sum_{j=1}^N E_j \frac{\delta \lambda_j}{\delta u} $ で定義し、ここで $ E_j $ は $ \bar{V}(\lambda_j) = \phi^{(j)} \psi^{(j)T} $ の積分を含む。
• ポテンシャル $ u = f(\phi^{(1)},\dots,\phi^{(N)}; \psi^{(1)},\dots,\psi^{(N)}) $ を線形系に代入することでLax対および随伴Lax対を非線形化する。
• $ \mathbb{R}^{2sN} $ 上にシンプレクティック構造 $ \omega^2 = \sum_{i=1}^s dP_i \wedge dQ_i $ を構成し、ポincare括弧およびハミルトニアンベクトル場を定義する。
• 非線形化空間系 (5) および時系列系 (6) をそれぞれハミルトニアン $ H $ および $ H_n $ を持つ有限次元ハミルトニアン系として導出する。
• 得られた系が明示的運動積分を有し、四則演算による可積分性を示し、ハミルトニアンフローとして解が表現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lax対および随伴Lax対を同時に非線形化することで、有限次元可積分系を生成する方法は何か？
• RQ2 バーガン対称性制約は、ソリトン階層における有限ギャップ的・自己同型的解を生成するために果たす役割は何か？
• RQ3 二値非線形化手順において、なぜ非線形化空間系および時系列系は常にハミルトニアン構造を持つのか？
• RQ4 非線形化時系列系は空間系とは独立に可積分であるとみなせるか？
• RQ5 得られた有限次元系は、元の無限次元ソリトン方程式と、変数分離および可積分性の観点からどのように関係しているか？

主な発見

• 二値非線形化手順により、Lax対および随伴Lax対が明示的運動積分を有する可換有限次元可積分ハミルトニアン系に成功裏に変換された。
• 非線形化空間系 (5) および時系列系 (6) は、それぞれハミルトニアン $ H $ および $ H_n $ を持つハミルトニアン系として示され、スペクトルデータおよび制約から導出された。
• AKNS階層では、ハミルトニアン関数が明示的に $ H = 2(<AP_1,Q_1> - <AP_3,Q_3>) - 2(<P_1,Q_2> + <P_2,Q_3>)(<P_2,Q_1> + <P_3,Q_2>) $ と与えられ、ここで $ A = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_N) $ である。
• n番目のAKNS方程式の解は $ P_i(x,t_n) = g^x_H g^{t_n}_{H_n} P_i(0,0) $、$ Q_i(x,t_n) = g^x_H g^{t_n}_{H_n} Q_i(0,0) $ として構成され、変数分離された自己同型的解が得られる。
• 得られた解は有限ギャップ的であることが証明され、非線形化系のスペクトル的性質が裏付けられた。
• 本手法により、対称性制約を通じて、ソリトン方程式に対する変数分離および四則演算による可積分性を体系的に生成する方法が提供された。