[論文レビュー] Binary words avoiding a pattern and marked succession rule

Stefano Bilotta, Donatella Merlini+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$1^{j+1}0^j$（$j \geq 1$）を避ける二進語の列挙を、Riordan 行列を用いた代数的手法により、1 の個数に応じて行う。語の成長を記述するため、新規の「ジャンプ付きでマークされた逐次規則」を導入し、その規則の非可逆性を解消するために、固定された1の個数を持つすべての二進語を生成し、禁止パターンを含むものを除外するアルゴリズムを提案する。

ABSTRACT

In this paper we study the enumeration and the construction of particular binary words avoiding the pattern $1^{j+1}0^j$. By means of the theory of Riordan arrays, we solve the enumeration problem and we give a particular succession rule, called jumping and marked succession rule, which describes the growth of such words according to their number of ones. Moreover, the problem of associating a word to a path in the generating tree obtained by the succession rule is solved by introducing an algorithm which constructs all binary words and then kills those containing the forbidden pattern.

研究の動機と目的

• 1 の個数に応じて、特定のパターン $1^{j+1}0^j$ を避ける二進語を列挙すること。
• 生成木の各段階における語の成長をモデル化する、逐次規則に基づく組合せ的枠組みを構築すること。
• 生成木におけるパスの非一意的対応という問題を解消するため、構成的アルゴリズムを導入すること。
• 禁止パターン $1^j0^i$（$0 < i < j$）の形をしたパターンに対し、このアプローチを一般化し、複数パターンおよび多アルファベットケースを検討すること。

提案手法

• 二進語が $1^{j+1}0^j$ を避ける問題を解くために、適切な Riordan 行列に基づく代数的技法を用いる。
• 息の長い段階で子が生成可能であり、ラベルがマーク済みまたは未マークであることを許容する「ジャンプ付きでマークされた逐次規則」を導入する。
• Riordan 行列の各行が生成木の段に対応する生成木を構築し、ラベルが語に含まれる1の個数を表すようにする。
• 固定された1の個数を持つすべての二進語を生成し、禁止パターン $1^{j+1}0^j$ を含むものを除外するアルゴリズムを設計する。
• 禁止パターンをモデル化するために、Dyckに類似したパスのパス表現を用い、カットアンドペースト操作を定義して「殺すパス」を定義する。
• 逐次規則の生成プロダクションから、アルゴリズムによるフィルタリング処理を通じて、各語が生成木内の一意なパスに一意に対応付けられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的手法を用いて、1 の個数に応じて $1^{j+1}0^j$ を避ける二進語をどのように列挙できるか？
• RQ2 複数の段階にわたり、マークされたラベルを含む語の成長を記述できる逐次規則を定義できるか？
• RQ3 なぜ、逐次規則から導かれる生成木におけるパスに、語を一意に対応させることができないのか？
• RQ4 固定された1の個数を持つすべての有効な二進語を構成し、禁止パターンを除外するためのアルゴリズム的アプローチは何か？
• RQ5 この枠組みを、$0 < i < j$ である $1^j0^i$ のような他の禁止パターンへ一般化できるか？

主な発見

• $1^{j+1}0^j$ を避ける二進語の個数は、適切な Riordan 行列を用いて代数的に列挙され、行列の要素と1の個数に応じたその数の直接的な関係が確立された。
• 生成木の異なる段階における語の成長を記述する「ジャンプ付きでマークされた逐次規則」が構築され、マークされたラベルが構造的曖昧性を説明する。
• ラベルのマッピングが段階間で一意でないため、逐次規則から導かれる生成木におけるパスに語を一意に対応させることはできない。
• 固定された1の個数を持つすべての二進語を生成し、禁止パターン $1^{j+1}0^j$ を含むものを除外するアルゴリズムが提案され、パスの対応問題が解決された。
• 無効な語の集合に属する各語 $\omega$ に対して、上昇ステップ数と禁止パターンの数が同一であり、最後の禁止パターンのマークの有無を除いて同一である唯一の対応語 $\omega'$ が存在する。
• 殺す手順はパス構造と規則の生成プロダクションによって一意に定まり、無効な語とそのマーク付き対応語との間に一対一対応が保証された。