[論文レビュー] Binomial Thue equations and power integral bases in pure quartic fields

István Gaál, László Remete|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、純四次体 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ におけるべき乗整基底の存在および計算を、インデックス形式方程式を $a^4 - m b^4 = \pm 1$ の形をした四次二項タウ方程式に還元することによって解決する。高度な数論および高性能コンピューティングを用いて、$m < -1$ の場合、同値関係を除き $\alpha = \sqrt[4]{m}$ のみがべき乗整基底を生成することが証明され、$m > 1$ かつ $m < 10^7$ の場合、$10^{1000}$ 未満の係数を持つすべての生成子を計算し、特定の族では解が完全に特徴付けられていることが明らかになった。

ABSTRACT

It is a classical problem in algebraic number theory to decide if a number field admits power integral bases and further to calculate all generators of power integral bases. This problem is especially delicate to consider in an infinite parametric family of number fields. In the present paper we investigate power integral bases in the infinite parametric family of pure quartic fields $K=Q(\sqrt[4]{m})$. We often pointed out close connection of various types of Thue equations with calculating power integral bases. In this paper we determine power integral bases in pure quartic fields by reducing the corresponding index form equation to quartic binomial Thue equations. We apply recent results on the solutions of binomial Thue equations of type $a^4-mb^4=\pm 1\; ({ m in}\; a,b\in Z)$ as well as we perform an extensive calculation by a high performance computer to determine "small" solutions (with $\max(|a|,|b|)&lt;10^{500}$) of binomial Thue equations for $m&lt;10^7$. Using these results on binomial Thue equations we characterize power integral bases in infinite subfamilies of pure quartic fields. For $1&lt; m&lt; 10^7$ we give all generators of power integral bases with coefficients $&lt;10^{1000}$ in the integral basis.

研究の動機と目的

• 純四次体 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ がべき乗整基底をもつかどうかを特定すること、これは代数的数論における古典的問題である。
• 無限パラメータ族である純四次体におけるべき乗整基底のすべての生成子を計算すること。
• べき乗整基底のインデックス形式方程式を、$a^4 - m b^4 = \pm 1$ の形をした四次二項タウ方程式に還元すること。
• 最近得られたタウ方程式に関する結果と高性能コンピューティングを活用し、$m < 10^7$ および $\max(|a|,|b|) < 10^{500}$ の範囲でこれらの方程式を解くこと。
• べき乗整基底が完全に決定できる無限族の純四次体を特徴づけること。

提案手法

• 問題はインデックス形式方程式の解法に還元され、$x = a^2$, $z = b^2$, $y = \pm ab$ の置換により、二項タウ方程式 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ に変換される。
• 既知の $a^4 - m b^4 = \pm 1$ の可解性に関する結果を用いて、$m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$ のような特定の $m$ の族の解を特徴づける。
• ハンガリー全域のスーパーコンピュータネットワークを用いて、広範な計算探索が実施され、Mapleを用いて1200桁の精度でペトーハ法が実装された。
• すべての $m < 10^7$ について、$\max(|a|, |b|) < 10^{500}$ の範囲で解が計算され、ほぼ $10^7$ 個の方程式をカバーした。
• 計算は数ノードに並列化され、単一ノードでの総実行時間を120時間から数時間に短縮した。
• 解を用いて、同値関係を除き、すべての生成子 $\vartheta = x\alpha + y\alpha^2 + z\alpha^3$ の再構成がなされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $m$ の値に対して、純四次体 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ がべき乗整基底をもつか。
• RQ2 純四次体におけるインデックス形式方程式は、具体的にどのようないくつかの形に還元可能か、特に二項タウ方程式に。
• RQ3 $m < 10^7$ かつ係数が $10^{1000}$ 未満の純四次体におけるべき乗整基底の生成子の完全な集合は何か。
• RQ4 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ の二項タウ方程式が完全かつ明示的に解が得られる無限族の $m$ は存在するか。
• RQ5 非常に大きな境界、例えば $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$ のような場合、このようなタウ方程式を解く計算上の可能性は何か。

主な発見

• $m < -1$ で平方自由かつ $m \equiv 2,3 \pmod{4}$ を満たす場合、同値関係を除き、べき乗整基底の唯一の生成子は $\alpha = \sqrt[4]{m}$ である。
• $m > 1$ で29以下の素数を高々2つまで含む場合、生成子は $\vartheta = \alpha$ のみであり、$m = 15$ の場合 $\vartheta = 4\alpha \pm 2\alpha^2 + \alpha^3$、$m = 39$ の場合 $\vartheta = 25\alpha \pm 10\alpha^2 + 4\alpha^3$ である。
• $m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$ で $s,t \in \mathbb{Z}^+$ の場合、生成子は $\vartheta = \alpha$ および $\vartheta = (s^4 t \pm 1)^2 \alpha \pm (s^4 t \pm 1)s \alpha^2 + s^2 \alpha^3$ のみである。
• $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$ の範囲で $a^4 - m b^4 = \pm 1$ の解を $m < 10^7$ に対して体系的かつ網羅的に探索した。その結果、ほぼ $10^7$ 個の方程式に対して10,000件以上の解が得られた。
• 計算は高性能スーパーコンピュータネットワークを用いて実行され、単一ノードでの総実行時間は約120時間であったが、並列化により数時間に短縮された。
• すべての係数が $10^{1000}$ 未満のべき乗整基底の生成子は、$1 < m < 10^7$ の範囲で、タウ方程式の解集合を用いて完全に特定された。