[論文レビュー] Biorthogonal polynomials for 2-matrix models with semiclassical potentials

Marco Bertola|ArXiv.org|May 3, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理関数の導関数を持つ半古典的ポテンシャルを伴う2行列モデルにおける双直交多項式について、再帰関係およびクリスティオフェル–ダーボウス恒等式を導出する。その際、固有値の支持集合は区間の和集合に制限される。主な貢献は、$(d_i+1)\times(d_i+1)$ 行列に対するリーマン–ヒルベルト問題の定式化であり、クリスティオフェル–ダーボウスペアリングは、2つのこのような問題の双対性として解釈される。

ABSTRACT

We consider the biorthogonal polynomials associated to the two-matrix model where the eigenvalue distribution has potentials V_1,V_2 with arbitrary rational derivative and whose supports are constrained on an arbitrary union of intervals (hard-edges). We show that these polynomials satisfy certain recurrence relations with a number of terms d_i depending on the number of hard-edges and on the degree of the rational functions V_i'. Using these relations we derive Christoffel-Darboux identities satisfied by the biorthogonal polynomials: this enables us to give explicit formulae for the differential equation satisfied by d_i+1 consecutive polynomials, We also define certain integral transforms of the polynomials and use them to formulate a Riemann-Hilbert problem for (d_i+1) x (d_i+1) matrices constructed out of the polynomials and these transforms. Moreover we prove that the Christoffel-Darboux pairing can be interpreted as a pairing between two dual Riemann-Hilbert problems.

研究の動機と目的

• 有理関数の導関数と区間の和集合における硬い端を持つポテンシャルを伴う2行列モデルにおける双直交多項式の再帰関係を確立すること。
• これらの多項式に対するクリスティオフェル–ダーボウス恒等式を導出し、$d_i+1$ 個の連続する多項式の微分方程式の構成を可能にすること。
• 多項式の積分変換を定義し、それらを用いて$(d_i+1)\times(d_i+1)$ 行列に対するリーマン–ヒルベルト問題を定式化すること。
• クリスティオフェル–ダーボウスペアリングが、2つの双対なリーマン–ヒルベルト問題の間の双対性に対応することを示すこと。
• モーメント関数の代数的変形を用いて、半古典的枠組みを任意の区間の和集合および有理関数の導関数を含むように一般化すること。

提案手法

• 多区間 $I$ および $J$ 上での積分により定義される双モーメント関数 $\nabla$ を導入し、重み関数 $e^{-V_1(x)-V_2(y)+xy}$ を用い、多項式へ線形に拡張する。
• 分布的恒等式 (1-7) および (1-8) を用いて半古典的条件を定義し、$V_i' = (A_i + B_i')/B_i$ とおく。ここで $A_i, B_i$ は極と硬い端を符号化する多項式である。
• 多項式 $A_i, B_i$ の構造と随伴微分作用素の双線形同伴を用いて、双直交多項式の乗法的再帰関係を導出する。
• 補助的な波動ベクトルおよびラダー行列を構築し、それらを用いてクリスティオフェル–ダーボウス恒等式を導出する。これらは、多項式とその変換を閉曲線積分によって結ぶ。
• 双直交多項式およびその積分変換を用いて、ジャンプ行列がクリスティオフェル–ダーボウスカーネルによって定義される$(d_i+1)\times(d_i+1)$ 行列に対するリーマン–ヒルベルト問題を定式化する。
• 曲線変形およびカーネル恒等式を用いて、クリスティオフェル–ダーボウスペアリングが2つのリーマン–ヒルベルト問題の双対性と等価であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2行列モデルにおける双直交多項式の再帰関係は、硬い端の数および有理関数 $V_i'$ の次数にどのように依存するか？
• RQ2 半古典的条件下で、$d_i+1$ 個の連続する双直交多項式が満たす微分方程式は何か？
• RQ3 多区間の支持集合および有理関数の導関数ポテンシャルを持つ双直交系に対して、クリスティオフェル–ダーボウス恒等式を一般化できるか？
• RQ4 多項式の積分変換を用いて、高階の行列に対するリーマン–ヒルベルト問題をどのように構成できるか？
• RQ5 この設定において、クリスティオフェル–ダーボウスペアリングが2つの双対なリーマン–ヒルベルト問題の双対性と等価であるか？

主な発見

• 双直交多項式は、硬い端の数および $A_i, B_i$ の次数に依存する $d_i$ 項からなる乗法的再帰関係を満たす。
• 双直交系に対してクリスティオフェル–ダーボウス恒等式が導出され、$d_i+1$ 個の連続する多項式の微分方程式の構成が可能になる。
• クリスティオフェル–ダーボウスペアリングが、2つの曲線の集合に対して定義された2つのリーマン–ヒルベルト問題の双対性と等価であることが示された。
• $(d_i+1)\times(d_i+1)$ 行列に対するリーマン–ヒルベルト問題が、双直交多項式およびその積分変換を用いて定式化された。ジャンプ行列はペアリングのカーネルによって決定される。
• 証明は曲線変形およびカーネル恒等式に依拠し、五重積分計算は、(5-3) の形のクリスティオフェル–ダーボウス恒等式により簡略化され、次数制約下で整合性が保たれ、項が消えることが保証される。
• この手法は、有理関数の導関数と硬い端を持つポテンシャルに適用可能であり、以前の結果を一般化し、任意の区間の和集合および複素共役極構造を含むように拡張可能である。