[論文レビュー] Bipartite and Multipartite Entanglement of Gaussian States

Gerardo Adesso, Fabrizio Illuminati|ArXiv.org|Oct 7, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続変数量子系のガウス状態における双対およびマルチパーティティのもつれを定量化し、操作的に扱う包括的なフレームワークを提示する。連続変数tangleを導入し、三粒子もつれを定量化し、その単独性を証明する。また、対称的三モードガウス状態では、離散変数系とは異なりもつれの多様な共有が可能であることを示し、最適トランスポートフェリティともつれ尺度（もつれの形成と局所化もつれ）の間の関係を提示する。

ABSTRACT

In this chapter we review the characterization of entanglement in Gaussian states of continuous variable systems. For two-mode Gaussian states, we discuss how their bipartite entanglement can be accurately quantified in terms of the global and local amounts of mixedness, and efficiently estimated by direct measurements of the associated purities. For multimode Gaussian states endowed with local symmetry with respect to a given bipartition, we show how the multimode block entanglement can be completely and reversibly localized onto a single pair of modes by local, unitary operations. We then analyze the distribution of entanglement among multiple parties in multimode Gaussian states. We introduce the continuous-variable tangle to quantify entanglement sharing in Gaussian states and we prove that it satisfies the Coffman-Kundu-Wootters monogamy inequality. Nevertheless, we show that pure, symmetric three-mode Gaussian states, at variance with their discrete-variable counterparts, allow a promiscuous sharing of quantum correlations, exhibiting both maximum tripartite residual entanglement and maximum couplewise entanglement between any pair of modes. Finally, we investigate the connection between multipartite entanglement and the optimal fidelity in a continuous-variable quantum teleportation network. We show how the fidelity can be maximized in terms of the best preparation of the shared entangled resources and, viceversa, that this optimal fidelity provides a clearcut operational interpretation of several measures of bipartite and multipartite entanglement, including the entanglement of formation, the localizable entanglement, and the continuous-variable tangle.

研究の動機と目的

• 連続変数系のガウス状態における双対およびマルチパーティティもつれを特徴づけ、定量化すること。
• マルチモードネットワークにおけるもつれ尺度と量子トランスポートフェリティの間の操作的関係を確立すること。
• 複数の参加者間でのもつれの分配、特に対称的およびバイシンメトリックなマルチモードガウス状態におけるものについて調査すること。
• 連続変数系におけるもつれの単独性を検討し、離散変数系のそれと比較すること。
• 最適量子トランスポートプロトコルを通じてもつれ尺度の明確な操作的解釈を提供すること。

提案手法

• シンプレクティック固有値とウィリアムソン対角形を用いて、ガウス状態を完全に特徴づける共分散行列（CM）形式を用いる。
• 最適トランスポートフェリティから導出された、真正の三粒子もつれの尺度としての連続変数tangleを導入する。
• 局所的ユニタリシンプレクティック操作を用いて、対称状態におけるマルチモードブロックもつれを単一のモードペアに局所化する。
• 最適トランスポートフェリティともつれの形成および局所化もつれとの直接的な関係を確立する。
• 三モード状態において、トランスポートのもつれ $E_T$ と三粒子残差tangleおよび局所化もつれを結ぶ解析的式を導出する。
• ロバートソン＝シュレーディンガーの不確定性関係を用いてCMの物理的妥当性を保証し、もつれ指標としてシンプレクティック固有値を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二モードガウス状態における双対もつれは、グローバルおよびローカルの純度測定によって正確に定量化可能か？
• RQ2 局所的対称性とユニタリ操作を用いて、マルチモードガウス状態におけるマルチパーティティもつれをどのように局所化し、定量化できるか？
• RQ3 コフマン＝カンダ＝ウッタースの単独性不等式は連続変数系においても成立するか？また、連続変数tangleとどのように関係するか？
• RQ4 対称的三モード純粋ガウス状態は、最大のペアワイズもつれと残差もつれの両方を示すことができるか？離散系とは対照的に、単独性制約を回避するか？
• RQ5 もつれの形成や局所化もつれといったもつれ尺度の、連続変数量子トランスポートの文脈における操作的意義は何か？

主な発見

• 連続変数tangleは、コフマン＝カンダ＝ウッタースの単独性不等式を満たし、真正のマルチパーティティもつれの尺度としての有効性が裏付けられる。
• 純粋で対称的な三モードガウス状態は、最大の三粒子残差もつれと最大のペアワイズもつれを同時に示し、離散変数系とは異なり多様なもつれ共有を示す。
• 最適トランスポートフェリティ $\mathcal{F}^{\text{opt}}_N$ は、任意の $N \geq 2$ に対して古典的閾値 $\mathcal{F}_{\text{cl}} = 0.5$ を上回り、リソースが最適に準備されていれば $\mathcal{F}^{\text{opt}}_N > 0.5$ が保証される。
• トランスポートのもつれ $E_T$ は、0（分離状態）から1（CV GHZ/W状態）までの正規化された操作的もつれ尺度であり、トランスポート性能と直接関連する。
• 三モード状態では、三粒子tangle $E_{\tau}^{i|j|k}$ は $E_T$ に関して単調増加関数であり、マルチパーティティもつれとトランスポートフェリティとの間の定量的で操作的な関係を確立する。
• 三モード状態のもつれの形成の局所化もつれは、$E_T$ によって完全に決定され、関数形 $E_F^{\text{loc}} = f[(1 - E_T)/(1 + E_T)]$ で与えられる。ここで $f(x)$ は $x$ を含む対数的表現である。