[論文レビュー] Bipartite entanglement of large quantum systems

Antonella De Pasquale|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハール測度に基づくランダム行列モデルを用いて、大規模な量子系における双対エンタングルメントを調査し、局所的純度およびスミット係数の統計的性質を分析する。純状態におけるエンタングルメントエントロピーおよび純度分布の正確な結果を導出し、正および負の温度における相転移を明らかにした。主な発見は、エンタングルメントのスケーリングおよび大N極限における熱力学的挙動に関するものである。

ABSTRACT

In this thesis we study the behavior of bipartite entanglement of a large quantum system, by analyzing the distribution of the Schmidt coefficients of the reduced density matrix. Applying the general methods of classical statistical mechanics, we develop a canonical approach for the study of the distribution of these coefficients for a fixed value of the average entanglement. We introduce a partition function depending on a fictitious temperature, which localizes the measure on the set of states with higher and lower entanglement, if compared to typical (random) states with respect to the Haar measure. The purity of one subsystem, which is our entanglement measure/indicator, plays the role of energy in the partition function. This thesis consists of two parts. In the first part, we completely characterize the distribution of the purity and of the eigenvalues for pure states. The global picture unveils several locally stable solutions exchange stabilities, through the presence of first and second order phase transitions. We also detect the presence of metastable states. In the second part, we focus on mixed states. Through the same statistical approach, we determine the exact expression of the first two moments of the local purity and the high temperature expansion of the first moment. We also bridge our problem with the theory of quantum channels, more precisely we exploit the symmetry properties of the twirling transformations in order to compute the exact expression for the first moment of the local purity.

研究の動機と目的

• 大規模な双対量子系において、純粋なグローバル状態をとるエンタングルメントの統計的分布を特徴づけること。
• 温度に類似したパrameterを有するランダム行列モデルを通じて、エンタングルメントの熱力学的挙動を理解すること。
• ユニタリ不変性およびツイリング写像を用いて、局所的純度およびスミット係数のモーメントの正確な表現を導出すること。
• 有効温度（正および負）を変化させた場合のエンタングルメントエントロピーおよび純度における相転移を同定すること。
• 大N極限において、エンタングルメント統計におけるマイクロカノニカルおよびカノニカル集合の等価性を確立すること。

提案手法

• ユニタリ群上のハール測度を用いて、ヒルベルト空間全体に一様に分布するランダムな純粋状態を生成する。
• スミット係数の固有値分布に関する高次元積分を評価するため、鞍点法を適用する。
• 縮小密度行列の固有値統計を記述するため、クーロンガスの統計力学的モデルを導入する。
• 自由エネルギー関数を導出し、それを最小化することでスミット係数の平衡分布を求める。
• ツイリング写像および正確なモーメント計算を用いて、β=0における局所的純度の一次および高次モーメントを評価する。
• 勾配降下法およびウォーソンの補題を用いて、N→∞極限における積分を漸近的に評価し、普遍的なスケーリング則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な双対量子系におけるランダムな純粋状態のスミット係数の典型的な分布は何か？
• RQ2 平均エンタングルメントエントロピーは系のサイズにどのように依存するか。有限サイズ補正項は何か？
• RQ3 有効温度βを変化させた場合、エンタングルメントの性質にどのような相転移が生じるか（正および負の温度）。
• RQ4 高温（β=0）極限における局所的純度のモーメントはどのように振る舞い、その正確な解析的形は何か？
• RQ5 大規模系におけるエンタングルメント統計の文脈で、マイクロカノニカルおよびカノニカル集合の関係は何か？

主な発見

• ランダムな純粋状態におけるスミット係数の分布は、大N極限において普遍的な形に収束し、状態密度がトリコミの積分方程式を満たす。
• 平均エンタングルメントエントロピーは系のサイズに対して対数的にスケーリングし、主要項としてln(N)と普遍的定数の補正項を有する。
• 正の温度において、有効温度βが臨界値に達したとき、二階相転移が発生し、縮小密度行列の固有値分布の変化が示される。
• 負の温度では、自由エネルギーの最大化を特徴とする、特徴的なスミット係数分布を示す準安定相が観測される。
• 負のβにおける分離状態の安定分岐では、一次相転移が確認され、熱力学的ポテンシャルの不連続的変化が示される。
• ツイリング写像を用いて局所的純度の一次モーメントを正確に計算した結果、⟨Trρ_A²⟩ = (N+1)/(N+2) が得られ、大N極限において1/N²の補正項を有する。