[論文レビュー] Biquaternions algebra and its applications by solving of some theoretical physics equations

L. A. Alexeyeva|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿はミンコフスキー空間上での双クaternion微分代数を構築し、8階の放物型系を解く。マクスウェル方程式とデイレ方程式を統一的に一つの双クォータニオン的バイグレディエント形式にまとめる。フーリエ変換を用いてバイ波動方程式の基本解および一般解を導出し、衝撃波の条件を特徴づけ、ローレンツ群およびポincare群の下での相対論的不変量を構成する。これにより、新たなスカラー方程式（KGFSh）と明示的な調和的・静的解を有するスピンルール場が得られる。

ABSTRACT

The functional space of biquaternions is considered on Minkovskiy space. The scalar-vector biquaternions representation is used which was offered by W. Hamilton for quaternions. With introduction of differential operator - a mutual complex gradient (bigradients), which generalize the notion of a gradient on biquaternions space, biquaternionic wave (biwave) equations are considered, their invariance for group of the Lorentz-Puancare transformations is shown and their generalized solutions are obtained. Biquaternionic form of generalized Maxwell-Dirac equation is constructed and its solutions are researched on base of the differential biquaternions algebra. Its generalized decisions are built with use of scalar potential. The new equation for these potential are constructed which unites known equations of quantum mechanics (Klein-Gordon and Schrodinger Eq.). The nonstationary, steady-state and harmonic on time scalar fields and generated by them the spinors and spinors fields in biquaternionic form are constructed.

研究の動機と目的

• ミンコフスキー空間上での双クォータニオン微分代数を構築し、理論物理学における高次の放物型系を解くこと。
• マクスウェル方程式とデイレ方程式を単一の双クォータニオン的バイグレディエント方程式形式に統一すること。
• フーリエ変換を用いてバイ波動方程式の一般解および基本解を導出すること。
• 波面における衝撃波の生成を分析し、界面でのジャンプ条件を導出すること。
• ローレンツ変換およびポincare変換の下での相対論的不変量を構成し、新たなスカラー場方程式（KGFSh）を導出すること。

提案手法

• 複素スカラー部およびベクトル部を有する双クォータニオン代数を形式化し、クォータニオン積および非可換演算を用いて乗法を定義する。
• 双クォータニオン的スカラー・ベクトル場に対する勾配の一般化としてのバイグレディエント作用素を導入する。
• バイ波動方程式にフーリエ変換を適用し、基本解および一般解を導出する。
• 一般化関数論およびバイグレディエント作用素の重ね合わせの性質を用いて、解の構成を簡略化する。
• 直交変換、ローレンツ変換、ポincare変換の下でバイ波動方程式の相対論的不変性を導出する。
• KGFSh方程式の解から得られる基本調和スピンルールを用いて、C場とG場のスピンルール場を畳み込みにより構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双クォータニオン代数は、理論物理学における複素スカラー・ベクトル場を記述するために、どのようにミンコフスキー空間へ拡張可能か？
• RQ2 バイ波動方程式およびマクスウェル＝デイレ方程式は、単一の双クォータニオン的バイグレディエント方程式に統一可能か？
• RQ3 バイ波動方程式の一般解および基本解とは何か？ そして、フーリエ変換を用いてどのように導出されるか？
• RQ4 双クォータニオン場モデルにおける衝撃波の生成および伝播の条件は何か？
• RQ5 KGFSh方程式の解は、相対論的不変性およびスピンルール場構造とどのように関係するか？

主な発見

• バイ波動方程式は、フーリエ変換を用いて導出された基本解および一般解を有し、特異的源の取り扱いが可能である。
• 衝撃波面は、双クォータニオン的バイグレディエント形式から導出された特定のジャンプ条件を満たす。
• バイ波動方程式はローレンツ変換およびポincare変換の下で不変であり、場の伝播に関する相対論的公式を導く。
• クライン＝ゴルドン、フォック、シュレーディンガー作用素を統合した新たなスカラー方程式、KGFSh方程式が導出され、一般解が定義される。
• 基本調和スピンルールは、形式 ${\bf Sp}_{\xi}^{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( i + \frac{\xi}{\|\xi\|} \right) \exp\left( i((\xi,x) - \rho\tau \pm \|\xi\|\tau) \right) $ として明示的に構成され、ノルムが1で擬ノルムが0である。
• C場およびG場のスピンルール場は、調和スピンルールとの畳み込みにより構成され、エネルギー運動量テンソル $ {\bf \Xi} = 1 - i \frac{\xi}{\|\xi\|} $ を有し、$ \|{\bf \Xi}\| = 2 $、$ \langle\!\langle{\bf \Xi}\rangle\!\rangle = 0 $ を満たす。