[論文レビュー] Birational cobordisms and factorization of birational maps

Jarosław Włodarczyk|ArXiv.org|Apr 15, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、特徴標数0の体上の滑らかで射影的な代数多様体間の双有理写像を、トロイダルのフリップ、吹き上げ、吹き下げの基本的ステップに分解する、$K^*$-作用を用いたモース理論的枠組みを導入する。主な貢献は、任意の双有理写像が、各ステップがトロイダル多様体の$K^*$-不変変換に局所的に同型であるようなこのようなステップの系列に分解可能であることを示す因子化定理であり、これはトポロジーにおけるハンドル分解に類似した体系的で幾何的な因子化を提供する。

ABSTRACT

In this paper we develop a Morse-like theory in order to decompose birational maps and morphisms of smooth projective varieties defined over a field of characteristic zero into more elementary steps which are locally étale isomorphic to equivariant flips, blow-ups and blow-downs of toric varieties. A crucial role in the considerations is played by K^*-actions where K is the base field. This paper serves as a basis for proving the weak factorization conjecture on factorization of birational maps in characteristic zero into blow-ups and blow-downs. This is carried out in two subsequent papers, one by the author (Combinatorial structures on toroidal varieties: a proof of the weak Factorization Theorem) and one joint with Abramovich, Karu and Matsuki (Torification and factorization of birational maps). In the last paper, the ideas of the present paper are discussed using geometric invariant theory.

研究の動機と目的

• 特徴標数0の体上の滑らかで射影的な代数多様体間の双有理写像に対して、$K^*$-作用を用いた幾何的分解理論を構築すること。
• モース理論的アイデアを代数幾何学へ一般化し、$K^*$-作用を勾配流の類似物として解釈すること。
• 双有理写像を、局所的にトロイダルのフリップ、吹き上げ、吹き下げに同型である基本的ステップに因子化すること。
• 代数閉体上で特徴標数0の滑らかで射影的な代数多様体間の任意の双有理写像に対して、このような因子化が存在することを証明すること。
• 最小モデルプログラムにおける既存の因子化定理の代わりに、構成的で幾何的な代替案を提供すること。

提案手法

• 多様体上の$K^*$-作用を用いて、双有理コボルディズムを定義し、$t \to 0$ および $t \to \infty$ における極限がそれぞれ二つの開集合 $B_-$ と $B_+$ を定義する。
• 幾何学的商 $B_-//K^*$ と $B_+//K^*$ を定義し、これらはそれぞれ元の多様体 $X_2$ と $X_1$ に同型である。
• $K^*$-作用の固定点集合の成分を用いてコボルディズムを階層化し、$B_-//K^*$ と $B_+//K^*$ 間の遷移を分析する。
• トロイダル幾何とモレリの強吹き上げ予想に関する結果を応用し、固定点付近での局所的挙動を分析する。
• 循環的特異点を持つ多様体 $X_i$ の系列を構成し、それらを単純なトロイダルのフリップ、吹き上げ、または吹き下げの形の写像で結ぶ。
• すべての写像が元の双有理写像 $X \to X'$ と可換であり、$U$ 上で開同型を保つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的な代数多様体間の双有理写像は、有限個の基本的双有理変換の系列に分解可能か？
• RQ2 $K^*$-作用は、代数幾何学における双有理写像の解析に、どの程度モース理論的ツールとして機能するか？
• RQ3 トロイダルのフリップ、吹き上げ、吹き下げは、特徴標数0の体上の滑らかで射影的な代数多様体間の任意の双有理写像を生成するために十分か？
• RQ4 コボルディズム上の$K^*$-作用の幾何学的性質をどのように用いて、双有理写像の明示的因子化を構成できるか？
• RQ5 与えられた開同型 $U \subset X \simeq U' \subset X'$ と整合する因子化を構成できるか？

主な発見

• 特徴標数0の体上の滑らかで射影的な代数多様体の間の任意の双有理写像 $\pi: X \to X'$ は、各ステップが局所的にトロイダル変換に同型である単純なトロイダル吹き上げ、吹き下げ、またはフリップの系列に因子化可能である。
• 因子化は、$X^\prime$ 上の開同型 $U \subset X^\prime$ と整合し、共通の開部分集合上で同型を保つ。
• 因子化の各ステップは、$K^*$-作用を持つコボルディズムを伴い、元の多様体と終域多様体はそれぞれ $B_-//K^*$ と $B_+//K^*$ として商として得られる。
• 連続する多様体間の遷移は、単純なトロイダルのフリップによって支配され、これは重み付き射影空間のファイバーを持つトロイダル吹き上げとトロイダル吹き下げの合成である。
• 因子化は、$X'$ 上の滑らかなコボルディズム $B(X,X')$ を用いて構成され、$U$ 上で自明であり、固定点成分が分解を制御する$K^*$-作用を持つ。
• 結果は、同型な開部分集合を持つ滑らかで射影的な代数多様体間の一般の双有理同値関係へも拡張可能である。