[論文レビュー] Birational geometry and localisation of categories

Bruno Kahn, R. Sujatha|arXiv (Cornell University)|May 24, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、体 F 上の滑らか多様体の圏を双有理的同型に関して局所化することによって、双有理幾何と圏論の間に深い関係を確立する。局所化された圏において、滑らか多様体 X から固有滑らか多様体 Y への準同型は、Y 上の F(X)-有理点の R 同値類と自然に一対一対応しており、R 同値の圏論的解釈を提供するとともに、函手性によって双有理不変量を統一する。

ABSTRACT

This version corrects a wrong proof of Proposition 6.3.2 and simplifies the exposition in Section 6.

研究の動機と目的

• 関数体の場と有理写像の間の関係を明確化すること。
• 2 つの分数圏を定義し、研究する：粗い双有理的圏（場を介して）と細かい双有理的圏（滑らか多様体の局所化を介して）。
• 局所化された圏 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ における Hom 集合を計算する。特に、固有な終域多様体に対して行う。
• 有理点の R 同値類が双有理不変量であることを示し、それらの間の合成法則を定義する。
• 離散賦値環の商圏と局所化された圏 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ の間に同値を確立する。

提案手法

• 体 F 上の滑らか F-多様体の圏 $ \mathbf{Sm}(F) $ を、双有理的同型の族 $ S_b $ で局所化し、$ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ を得る。これが細かい双有理的圏である。
• 関数体を対象とし、F-場を準同型とする粗い双有理的圏 $ \mathbf{place} $ を定義する。
• 分離的に生成される関数体の部分圏 $ \mathbf{dv} $ を導入し、滑らかモデル上の共通の中心と場のホモトピーを用いて、準同型の同値関係を定義する。
• 商圏 $ (\mathbf{dv}/h')^{\mathrm{op}} $ の対の関手 $ \overline{\Psi} $ を $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ へ構成し、それが同値であることを証明する。
• 特異点の解消と変形技術（ガブナーの弧変形および繰り返しの点上の吹き上げを含む）を用いて、正則スキームの特別ファイバー上の点が R 同値であることを証明する。
• ヤオダの補題とその補完を用いて、滑らかかつ固有な多様体上の任意の双有理的函手が $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}^{\mathrm{prop}}(F) $ を通して因数分解できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体の場と滑らか多様体間の有理写像の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 局所化された圏 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ の構造は何か？ その準同型はどのような意味を持つのか？
• RQ3 滑らかかつ固有な多様体上で、有理点の R 同値類を自然に定義できるか？ そしてそれは双有理不変量であるか？
• RQ4 離散賦値環の圏（特定の関係を備えたもの）と細かい双有理的圏との間に、圏同値が存在するか？
• RQ5 正則スキームの特別ファイバー上の点が R 同値であるための条件は何か？

主な発見

• 局所化された圏 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ において、滑らか F-多様体 $ X $ から固有滑らか F-多様体 $ Y $ への準同型の集合は、自然に $ Y(F(X))/R $ である R 同値類の集合と同型である。
• 自然な関手 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}^{\mathrm{prop}}(F) \to S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ は完全忠実であり、特徴が 0 のときには同値である。
• 写像 $ X \mapsto X(F)/R $ は、滑らかかつ固有な F-多様体に対して双有理不変量である。これは特徴 0 における既知の結果を任意の特徴に一般化する。
• 滑らかかつ固有な多様体上の有理点の R 同値類に、合成法則が自然に定義され、函手的である。これは圏構造に由来する。
• 圏の同値 $ (\mathbf{dv}/h')^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\sim} S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ が存在する。ここで $ \mathbf{dv} $ は分離的に生成される関数体の圏であり、準同型は体拡張と良い離散賦値環からの場によって生成される。
• ガブナーの議論により、弱い仮定のもとで、正則スキームの特別ファイバー上の任意の 2 つの F-点は、弧の変形と繰り返しの点上の吹き上げを介して R 同値であることが確認される。