[論文レビュー] Birational geometry of symplectic resolutions of nilpotent orbits II

Yoshinori Namikawa|ArXiv.org|Aug 20, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素単純 Lie 代数における冪零軌道閉包のすべてのシンプレクティック解消を分類するため、パラボリック部分群に Dynkin 図に基づく同値関係を定義する。この同値関係により、例外型を含むすべての型において、すべてのシンプレクティック解消が Mukai フロップの系列によって接続されることを示し、$E_6$ 型の軌道において新たなフロップ型（例えば、$E_{6,I}$、$E_{6,II}$）を同定する。これにより、可動錐と正則錐を用いたシンプレクティック解消の崩壊幾何学が統一される。

ABSTRACT

In this paper we shall study symplectic resolutions of a nilpotent orbit closure of a complex simple Lie algebra \g. We shall introduce an equivalence relation in the set of parabolic subgroups of $G$ in terms of marked Dynkin diagrams. We start with a nilpotent orbit closure which admits a Springer resolution with a parabolic subgroup $P_0$ of $G$. Then we prove that all symplectic resolution of the nilpotent closure are Springer resolutions with $P$ which are equivalent to $P_0$. Here all symplectic resolutions are connected by Mukai flops. We need three types of Mukai flops (types A, D and E_6) in connecting symplectic resolutions. In particular, Mukai flops of type E_6 are new. All arguments of Part I : math.AG/0404072 which use flags, are replaced by those which use only Dynkin diagrams.

研究の動機と目的

• 古典的 Lie 代数にとどまらず、例外型を含めた複素単純 Lie 代数における冪零軌道閉包のシンプレクティック解消の分類を拡張すること。
• 先行研究におけるフラッグに基づく議論を、パラボリック部分群の純粋に Dynkin 図に基づく同値関係に置き換えること。
• 固定されたパラボリック部分群に対してマーク付き Dynkin 図で定義される同値関係に従うすべてのパラボリック部分群から、与えられた冪零軌道閉包のすべてのシンプレクティック解消が得られることを示すこと。
• これらの解消が Mukai フロップの系列によって接続されることを示し、古典的な $A$-型および $D$-型のフロップを一般化すること。
• $E_6$ 場合において、新たな Mukai フロップ型（$E_{6,I}$、$E_{6,II}$）を同定し、シンプレクティック解消の既知の崩壊幾何学を拡張すること。

提案手法

• パラボリック部分群の同値関係を、マーク付き Dynkin 図を用いて定義する。ここで、マークは基本根系の部分集合に対応する。
• $Y_P := T^*(G/P)$ をパラボリック部分群 $P$ に対応する Springer 解消と定義し、その幾何学的性質が軌道閉包 $\bar{\mathcal{O}}$ と関係することを示す。
• 可動錐 $\overline{\mathrm{Mov}}(Y_{P_0}/\bar{\mathcal{O}})$ を、すべての $P \sim P_0$ に対する正則錐 $\overline{\mathrm{Amp}}(Y_P/\bar{\mathcal{O}})$ の和集合として定義し、崩壊的接続性を確立する。
• 極端な収縮とフロップの理論を適用する：$\bar{\mathcal{O}}$-可動な除集合 $D$ に対して、$K_{Y_{P_0}} + D$-極端な収縮が、小規模な有理的写像を誘導し、フロップが可能である。
• 不変量の不等式を用いてフロップ列の終了を証明する：もし多様体が再び現れるならば、不変量の列は厳密に減少することになり、矛盾が生じる。
• $E_6$ の $A_3$ 軌道に対して $\pi_1(\mathcal{O}) = 1$ であることを利用し、次数1の Springer 写像が成り立つことを保証することで、解消構造を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、根系のデータのみを用いて、例外型 Lie 代数における冪零軌道閉包のシンプレクティック解消の分類を拡張できるか？
• RQ2 マーク付き Dynkin 図は、同じ軌道閉包のシンプレクティック解消をもたらすパラボリック部分群をパrametrize する役割を果たすか？
• RQ3 固定された冪零軌道閉包のすべてのシンプレクティック解消は、Mukai フロップの系列によって接続されるか？ また、例外型の場合に新たなタイプのフロップが現れるか？
• RQ4 解消の可動錐は、他の解消の正則錐の和集合として分解可能か？ そして、これは崩壊幾何学とどのように関係するか？
• RQ5 $E_6$ 場合に現れる新たな Mukai フロップ型は何か？ そして、$A_3$ 軌道の幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• 冪零軌道閉包 $\bar{\mathcal{O}}$ のすべてのシンプレクティック解消は、マーク付き Dynkin 図による同値関係で固定された $P_0$ と同値なパラボリック部分群 $P$ から得られる。
• 可動錐 $\overline{\mathrm{Mov}}(Y_{P_0}/\bar{\mathcal{O}})$ は、すべての $P \sim P_0$ に対する正則錐 $\overline{\mathrm{Amp}}(Y_P/\bar{\mathcal{O}})$ の和集合として表され、崩壊的接続性が証明される。
• $P \sim P_0$ に対する解消 $Y_P$ は、Mukai フロップの系列によって接続され、フロップの型は根系の構造によって決定される。
• $E_6$ 場合では、$A$ 型や $D$ 型とは異なる新たな Mukai フロップ型 $E_{6,I}$ および $E_{6,II}$ が現れ、既知の分類が拡張される。
• $E_6$ の $A_3$ 軌道に対して、可動錐 $\overline{\mathrm{Mov}}(Y_1/\bar{\mathcal{O}})$ は2次元であり、4つの部屋に分解され、4つの解消 $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ に対応する。フロップ接続が明示的に与えられる。
• 可動除集合をフロッピングする手続きは、サイクルが生じた場合に不変量の列が厳密に減少するという矛盾により、有限回で終了することが証明され、すべての可動除集合がある正則錐 $\overline{\mathrm{Amp}}(Y_P/\bar{\mathcal{O}})$ に属することを示す。