[論文レビュー] Birational maps of moduli of Brill-Noether pairs

David C. Butler|ArXiv.org|May 7, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、一般曲線 $ C $、$ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $、および $ g \geq n^2 - 1 $ の条件下で、$ G_{\beta}(n,d,n+1) $ から $ G_{\beta}(1,d,n+1) $ への明示的な有理写像を構成する。主な貢献は、双対スパン構成によって誘導される有理同型であり、ランク $ n $ で $ n+1 $ 個の切断を持つ安定ペアを、ランク $ 1 $ で $ n+1 $ 個の切断を持つ安定ペアへ写像する。これは、このようなモジュライ空間の有理同型性に関するより広範な予想を支持するものである。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth projective irreducible curve of genus $g$. And let $G_α(n,d,l)$ be the moduli space of $α$ stable pairs of a vector bundle of $ ank n, °d$ and a subspace of $H^0(C,E)$ of $\dim = l $. We find an explicit birational map from $G_α (n, d, n+1)$ to $G_α (1, d, n+1)$ for $C$ general, $1/α\gg 0$ and $g \ge n^2-1$. Because of this and other examples, we conjecture $G_α (a, d, a+z)$ maps birationally to $G_α (z, d, a+z)$ for $1/ α\gg 0$ and $C$ general with $g>2$.

研究の動機と目的

• 異なるランクだが同じ切断数を持つブリル-ノエター対のモジュライ空間の間の有理同型を確立すること。
• 一般曲線および十分に小さい $ \alpha $ に対して、$ G_{\alpha}(a,d,a+z) $ と $ G_{\alpha}(z,d,a+z) $ が有理同型であるかどうかを調査すること。
• 双対スパン構成における安定性の問題を、$ \alpha $-安定ペアおよび一般曲線に制限することで解決すること。
• 固定された切断次元をもつ $ \alpha $-安定ペアの設定において、既知のブリル-ノエター部分多様体の結果を拡張すること。

提案手法

• 双対スパン写像を用いる：ペア $ (E,V) $ で $ V \subseteq H^0(C,E) $ とするとき、評価写像 $ V \otimes \mathcal{O}_C \to E $ の核を $ M_V $ とし、$ (M_V^*, V^*) $ へ写像する。
• $ \alpha $-安定性条件を用い、$ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $ とすることで、一般条件下で $ (E,V) $ の $ \alpha $-安定性がその双対スパンの $ \alpha $-安定性を保証する。
• 双対スパン写像を、$ \alpha $-安定な生成ペアの集合 $ S_\alpha(n,d,n+1) $ と $ S_\alpha(1,d,n+1) $ 間の有理自己同型として用いる。
• 一般曲線および $ g \geq n^2 - 1 $ の下で、一般の $ \alpha $-安定ペアは生成的であることが保証され、双対スパン構成が可能になることを利用している。
• 次数 $ d > 4 $ の場合に高次元バンドルへ拡張するため、基本変換（点における原始的変換）を用い、モジュライ空間の非空性を示している。
• ランゲとナラシマンの原始的変換の安定性に関する結果を応用し、変換後のバンドルが依然として $ \alpha $-安定であることを保証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般曲線および十分に小さい $ \alpha $ に対して、$ G_\alpha(n,d,n+1) $ と $ G_\alpha(1,d,n+1) $ の間に有理写像が存在するか？
• RQ2 双対スパン写像が $ \alpha $-安定な生成ペアのレベルで同型となる条件は何か？
• RQ3 一般に $ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $ の下で、$ G_\alpha(a,d,a+z) $ と $ G_\alpha(z,d,a+z) $ の間の有理同型が一般に確立できるか？
• RQ4 曲線の genus と切断次元が、モジュライ空間の有理型の決定に果たす役割は何か？
• RQ5 不安定性のため双対スパン構成が失敗するのはどのような場合か、そしてその失敗を回避する方法は何か？

主な発見

• 一般曲線 $ C $ で $ g \geq n^2 - 1 $ であるとき、$ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $ の下で、縮約されたモジュライ空間 $ S_\alpha(n,d,n+1)_{\text{red}} $ と $ S_\alpha(1,d,n+1)_{\text{red}} $ の間に有理同型が存在する。
• 上記の条件下で、双対スパン写像により $ G_\alpha(n,d,n+1) $ と $ G_\alpha(1,d,n+1) $ の間に有理同型が誘導され、逆写像は評価系列の核の双対化によって与えられる。
• 一般の $ \alpha $-安定ペアが生成的であることから、双対スパン写像が稠密な開部分集合上で正しく定義されかつ可逆であることが保証される。
• 特に $ n=2 $ の場合、$ W^3_{2,d} $ の既知の既約性および縮約性により、より強い同型性の主張が可能になる。
• 基本変換（原始的変換）を用いて、$ d \geq 5 $ のとき $ G_\alpha(2,d,3) $ が非空であることを示し、主定理からの次元数え上げが適用可能である。
• 本稿では、$ \rho(g,n,n,d) < 0 $ ならば $ W^n_{n,d} = \emptyset $ であることを証明しており、一般曲線の仮定の下で特定のブリル-ノエター部分多様体が存在しないことを示している。