[論文レビュー] Birational rigidity is not an open property

Ivan Cheltsov, Михаил Михайлович Гриненко|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Organometallic Complex Synthesis and Catalysis参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、Fano 3次元多様体が完全交差として定義された、ℙ⁵ 内の2次曲面と3次曲面の交わりであり、通常の二重点を持つものについて、双有理的剛性がモジュライにおいて開性であるという予想に対して反例を構成する。このFano 3次元多様体は双有理的剛性を示すが、その小さな変形は非剛性Fano多様体を生じる。この結果により、剛性が変形のもとで保たれないことが示され、双有理幾何における長年の予想が否定された。

ABSTRACT

We construct an example of the birationally rigid complete intersection of a quadric and a cubic in $\PA^5$ with an ordinary double point, which under a small deformation gives a non-rigid Fano variety. Thus we show that birational rigidity is not open in moduli.

研究の動機と目的

• 先行研究で提唱されたように、双有理的剛性がモジュライにおいて開性であるかどうかを調査すること。
• 小さな変形のもとで剛性が失われるFano 3次元多様体の明示的例を構成すること。
• ℙ⁵ 内の2次曲面と3次曲面の特異的完全交差として定義された多様体が剛性を示すが、変形によって非剛性になることを示すこと。
• 反例を del Pezzo フibrations に拡張し、それらのモジュライにおいても剛性が開でないことを示すこと。
• Fano および del Pezzo フibrations において、小さな変形が双有理的剛性を保つという期待に反して、反例を提供すること。

提案手法

• h, t を一次式、q₁, q₂ を二次式とするとき、ht − q₁q₂ = 0 で定義される ℙ⁴ 内の特異的完全交差 X ⊂ ℙ⁴ を構成する。
• 2つのアンプロジェクションを用いて、方程式 y₅h = q₁, y₅q₂ = t および y₅h = q₂, y₅q₁ = t により ℙ⁵ 内の非特異的Fano 3次元多様体 V₁ と V₂ を構成する。
• flop ψ: V₁ ⇢ V₂ により、V₁ と V₂ が X および互いに双有理同型であることを示し、このflopは平方でないことを示す。
• ψ による除法のプッシュフォワードを用いて、V₁ および V₂ 上の線形系を解析し、補題 7.2 を用いて次数の上限を導出する。
• 最大特異点の方法と双有理自己同型（補題 7.1 からのもの）を用いて、任意のモーリー・フィブレーションへの双有理写像が平方でなければならないことを示し、剛性を証明する。
• 一般には同型でない V₁ と V₂ が、対称的条件のもとで同型になることを利用して、変形族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano 3次元多様体において、双有理的剛性はモジュライにおいて開性であるか？
• RQ2 双有理的剛性を持つFano 3次元多様体が、小さな変形のもとで非剛性になることはあり得るか？
• RQ3 変形のもとで剛性が失われる現象は、del Pezzo フibrations の文脈でも生じるか？
• RQ4 アンプロジェクションとflopの技法を用いて、剛性の開性の反例を明示的に構成できるか？
• RQ5 どのような対称的条件下で、同型ではないFano フibrations が同型になり、剛性が生じるか？

主な発見

• ℙ⁵ 内の2次曲面と3次曲面の完全交差として定義され、通常の二重点を持つFano 3次元多様体 X ⊂ ℙ⁵ は双有理的剛性を示す。
• X の小さな変形は非剛性Fano 3次元多様体を生じ、双有理的剛性がモジュライにおいて開性でないことを示している。
• アンプロジェクションにより構成された多様体 V₁ と V₂ は一般には同型ではないが、断面 Q_S が対称的変換のもとで不変である場合、同型になり、剛性が生じる。
• flop ψ: V₁ ⇢ V₂ は平方ではなく、V₁ と V₂ 間の双有理写像はファイブレーション構造を保存しない。これは一般の変形における非剛性の鍵となる。
• 反例は del Pezzo フibrations に拡張可能である：分岐除集合を対称的に選ぶと剛性が生じるが、一般の選択では対称性が破れ、非剛性のファイブレーションが得られる。
• 証明は、プッシュフォワードを用いた線形系の解析と、最大特異点の方法により、任意のモーリー・フィブレーションへの双有理写像が平方でなければならないことを示すことに依拠しており、対称的状況での剛性を証明する。