[論文レビュー] Birational symplectic manifolds and their deformations

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|Jan 17, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双有理的シンプレクティック多様体とその変形の関係を調査し、特に Mukai の初等的変換または codimension-two 同型によって関連するある種の双有理的 hyperkähler 多様体が、マーク付き多様体のモジュライ空間において非分離点を定義することを証明する。さらに、K3 表面上の階数 2 の層のモジュライ空間が、K3 表面上の点の Hilbert スキームと変形同値であることも確立する。

ABSTRACT

The known counterexamples to the global Torelli theorem for higher-dimensional hyperkahler manifolds are provided by birational manifolds. We address the question whether two birational hyperkahler manifolds (i.e. irreducible symplectic) manifolds always define non-separated points in the moduli space of marked manifolds. An affirmative answer is given for the cases of Mukai's elementary transformations and birational correspondences which are isomorphic in codimension two. The techniques are applied to show that the moduli spaces of rank two sheaves on a K3 surface are deformation equivalent to appropriate Hilbert schemes.

研究の動機と目的

• 双有理的でかつ非特異なシンプレクティック（hyperkähler）多様体が、常にマーク付き多様体のモジュライ空間において非分離点を定義するかどうかを同定すること。
• 特に Mukai の初等的変換を含む双有理的対応が、hyperkähler 多様体の変形理論の文脈において果たす役割を分析すること。
• K3 表面上の階数 2 の層のモジュライ空間の変形型を調査すること。
• そのようなモジュライ空間と K3 表面上の点の Hilbert スキームとの間の変形同値性を確立すること。
• 双有理的幾何学を用いて、高次元におけるグローバル Torelli 定理の失敗を理解を拡張すること。

提案手法

• マーク付き多様体とそのモジュライ空間の理論を用いて、双有理的ペアの周囲の局所構造を分析する。
• 変形理論的技術を適用して、双有理的 hyperkähler 多様体の局所変形空間を比較する。
• Mukai の初等的変換を、シンプレクティック構造を保存する明示的な双有理写像として用い、変形型の比較を可能にする。
• codimension-two 同型条件を分析して、双有理的写像がコホロロジーおよび変形空間に同型を誘導することを保証する。
• K3 表面の幾何学および層のモジュライに関する結果を適用し、層のモジュライ空間の変形型が Hilbert スキームのそれと関連することを明らかにする。
• ある種の双有理変換の下で変形同値性が保存されることを用いて、Hilbert スキームとの同値性に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双有理的で非特異なシンプレクティック多様体は、常にマーク付き多様体のモジュライ空間において非分離点を定義するか？
• RQ2 hyperkähler 多様体間の双有理的対応が、どのような条件下で変形型を保存するか？
• RQ3 K3 表面上の階数 2 の層のモジュライ空間は、同じ K3 表面上の点の Hilbert スキームと変形同値か？
• RQ4 Mukai の初等的変換は、hyperkähler 多様体の変形理論にどのように影響を与えるか？
• RQ5 codimension-two 同型は、双有理的シンプレクティック多様体の変形類を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Mukai の初等的変換によって関連する双有理的 hyperkähler 多様体は、マーク付き多様体のモジュライ空間において非分離点を定義する。
• codimension-two で同型である双有理的対応も、モジュライ空間において非分離点をもたらす。
• K3 表面上の階数 2 の半安定層のモジュライ空間は、同じ K3 表面の点の Hilbert スキームと変形同値である。
• 考察された双有理変換の下で、層のモジュライ空間の変形型は保存される。
• これらの結果は、双有理的幾何学を通じて、高次元におけるグローバル Torelli 定理の反例に対する幾何的説明を提供する。
• 解析により、特定の双有理写像の下で変形同値性がシンプレクティック圏において自然な不変量であることが確認された。