[論文レビュー] Birkhoff-like theorem for rotating stars in (2+1) dimensions

Jozef Skákala, Matt Visser|ArXiv.org|Mar 12, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元時空における回転対称星に対して、バーキホフに類似した定理を確立し、外部真空幾何が一意にBTZ時空であることを証明している—静的なもので、質量、角運動量、および宇宙定数によって完全に決定される。この結果は、2+1次元におけるアインシュタイン方程式の単純さに起因し、重力波が存在しないため、このような星に対して「髪の毛のない定理」が成り立つ。

ABSTRACT

Consider a rotating and possibly pulsating "star" in (2+1) dimensions. If the star is axially symmetric, then in the vacuum region surrounding the star, (a region that we assume at most contains a cosmological constant), the Einstein equations imply that under physically plausible conditions the geometry is in fact stationary. Furthermore, the geometry external to the star is then uniquely guaranteed to be the (2+1) dimensional analogue of the Kerr-de Sitter spacetime, the BTZ geometry. This Birkhoff-like theorem is very special to (2+1) dimensions, and fails in (3+1) dimensions. Effectively, this is a "no hair" theorem for (2+1) dimensional axially symmetric stars: the exterior geometry is completely specified by the mass, angular momentum, and cosmological constant.

研究の動機と目的

• 球対称系を超えた回転対称星の(2+1)次元におけるバーキホフに類似した定理を確立すること。
• 脈動する回転星の(2+1)次元における外部真空幾何が、質量、角運動量、および宇宙定数によって一意に決定され、かつ常に静的であるかどうかを調査すること。
• 重力波と独立した多重極モーメントの存在により、(3+1)次元ではこのような定理が成立しない理由を明確にすること。
• (2+1)次元における正準計量形式と真空アインシュタイン方程式を用いて、物理的直感に基づいた初等的な導出を提供すること。
• 重力波が(2+1)次元に存在しないことが、この定理の有効性の根本的物理的根拠であり、星に対する「髪の毛のない定理」と類似していることを示すこと。

提案手法

• 軸対称性を仮定し、座標自由度を用いて(2+1)次元計量をrとtの関数3つを含む正準形式に簡略化する。
• gϕϕ = r² とすることでr座標を固定し、rが適切な円周を測定することを保証し、残りの座標自由度を用いてgϕrおよびgtr成分を消去する。
• 真空アインシュタイン方程式 R_ab = 2Λg_ab を適用し、計量関数にかかる制約を導出し、外部幾何が時間に依存しないことを示す。
• 得られた微分方程式を解き、B(r)、ω(r)、Eの明示的表現を導出し、BTZ計量形式が得られることを示す。
• 座標再定義（t → t/E および φ → φ − Ω₀t）を用いて積分定数EとΩ₀を消去し、計量を標準的なBTZ形式に簡略化する。
• 最終的な計量が、質量M、角運動量J、宇宙定数Λを持つ標準BTZ時空と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 脈動する回転対称星が(2+1)次元に存在する場合、内部の振動があってもその外部真空幾何は静的のままであるか？
• RQ2 真空アインシュタイン方程式と軸対称性のみを用いて、このような星の外部解としてBTZ時空を一意に導出できるか？
• RQ3 なぜ(3+1)次元ではこのようなバーキホフに類似した定理が成立しないのか？（質量と角運動量のみではキラー幾何が一意に定まらないため）
• RQ4 重力波が(2+1)次元に存在しないことが、外部幾何の一意性を保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 星を取り巻く閉じた経路のホロノミーは、外部幾何が「凍結された」性質を持つこととどのように関係するか？

主な発見

• 回転対称性を示す(2+1)次元の星の外部真空幾何は、質量M、角運動量J、宇宙定数Λによって一意に決定され、BTZ時空そのものである。
• 真空アインシュタイン方程式と軸対称性のおかげで、星が脈動しても外部領域の計量は時間に依存しない（静的）であることが証明された。
• 正準計量形式における真空アインシュタイン方程式を明示的に解くことで、B(r) = 1 − M − Λr² + K²/r²（K = J/2）の形の解が得られた。
• 積分定数EとΩ₀を消去する座標再定義により、最終的な計量は標準BTZ形式と一致し、一意性が確認された。
• 重力波が(2+1)次元に存在しないことが、この定理の有効性の根本的要因であり、内部の力学的状態の情報が外部に漏れ出ないことを保証している。
• この結果は、(2+1)次元星に対する「髪の毛のない定理」を構成する：外部はM、J、Λによって完全に指定され、真空中には高次多重極モーメントは許されない。