[論文レビュー] Birth and death process with one-side bounded jumps in random environment

Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、独立同分布の確率的パrameterに依存する遷移レートを有する、片側有界ジャンプを伴う確率的環境下の出生死滅過程を研究する。最初の通過時間を、確率的環境下の多型枝分岐過程を用いて分解することで、クエンチド平均最初通過時間の明示的公式を導出し、明示的な漸近的速度を伴う大数の法則を確立する。これにより、一般の有界ジャンプ動的特性を有する確率的環境下の過程の長期的挙動について、初めての厳密な特徴付けがなされた。

ABSTRACT

Let $ω=(ω_i)_{i\in\mathbb Z}=(μ^{L}_i,...,μ^{1}_i,λ_i)_{i\in \mathbb Z}$, which serves as the environment, be a sequence of i.i.d. random nonnegative vectors, with $L\ge1$ a positive integer. We study birth and death process $N_t$ which, given the environment $ω,$ waits at a state $n$ an exponentially distributed time with parameter $λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n$ and then jumps to $n-i$ with probability ${μ^i_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n),$ $i=1,...,L$ or to $n+1$ with probability ${λ_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n).$ A sufficient condition for the existence, a criterion for recurrence, and a law of large numbers of the process $N_t$ are presented. We show that the first passage time $T_1\overset{\mathscr D}{=}ξ_{0,1}+\sum_{i\le -1}\sum_{k=1}^{U_{i,1}}ξ_{i,k}+\sum_{i\le -1}\sum_{k= 1}^{U_{i,1}+...+U_{i,L}} ildeξ_{i+1,k},$ where $(U_{i,1},...,U_{i,L})_{i\le0}$ is an $L$-type branching process in random environment and, given $ω,$ $ξ_{i,k},\ ildeξ_{i,k},\ i\le 0,\ k\ge 1$ are mutually independent random variables such that $P_ω(ξ_{i,k}\ge t)=e^{-(λ_i+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_i)t},\ t\ge 0.$ This fact enables us to give an explicit velocity of the law of large numbers.

研究の動機と目的

• 一般条件下で、有界ジャンプを伴う確率的環境下の出生死滅過程がほとんど確実に存在することを確立すること。
• 埋め込まれたランダムウォーク構造に基づき、その過程の再帰性・非再帰性の基準を導出すること。
• 過程のための大数の法則を証明し、その明示的な漸近的速度を計算すること。
• 確率的環境下の多型枝分岐過程を用いて最初通過時間の分解を行い、精密な漸近的解析を可能にすること。

提案手法

• 状態依存のジャンプレートを有する連続時間マルコフ過程を定義するため、保守的Q行列を用いる。
• 条件(C1)および(C2)の下で、Q過程に関する古典的存在・一意性結果を適用し、ほとんど確実にパスワイズの一意性を保証する。
• 埋め込まれた離散時間過程を、有界ジャンプを伴う確率的環境下のランダムウォークとしてモデル化する。
• 各状態への到達回数を数えるために、確率的環境下の多型枝分岐過程を用いる。
• 独立性および記憶のなさの性質を活用し、最初の通過時間$T_1$を訪問回数で重み付けた指数待ち時間の和に分解する。
• 遷移レート比の行列積を用いて、$T_1$のクエンチド期待値を導出し、大数の法則における明示的速度公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界ジャンプを伴う確率的環境下の出生死滅過程がほとんど確実に存在する条件は何か？
• RQ2 環境分布の観点から、このような過程の再帰性または非再帰性の基準は何か？
• RQ3 大数の法則の下で、この過程の明示的な漸近的速度は何か？
• RQ4 最初通過時間をどのように分解すれば、正の状態に到達するまでの期待時間の精密な公式が得られるか？

主な発見

• 条件(C1)および(C2)の下で、過程$N_t$はほとんど確実に存在する。これは、遷移半群の一意性を保証する。
• 再帰性の基準は、確率的環境下の埋め込まれたランダムウォークの挙動に依存し、既知の結果を有界ジャンプに拡張する。
• 最初の通過時間$T_1$は、確率的環境下の多型枝分岐過程と独立な指数分布確率変数を含む分解を許容する。
• クエンチド期待値は、$\mathbb{E}_\omega[T_1] = \sum_{i \leq 0} \frac{1}{\lambda_i + \sum_{l=1}^L \mu_i^l} \mathbf{e}_1 M_0 \cdots M_{i+1} \mathbf{1}$ として明示的に与えられる。ここで$M_i$は遷移行列である。
• 大数の法則が成り立ち、明示的な速度が得られる：$\lim_{t \to \infty} N_t / t = (\mathbb{E}[S(\omega)])^{-1}$ ほとんど確実に成り立ち、$\mathbb{E}[S(\omega)] < \infty$ のとき、ここで$S(\omega)$はクエンチド平均最初通過時間である。
• もし$\mathbb{E}[S(\omega)] = \infty$ ならば、過程は$\lim_{t \to \infty} N_t / t = 0$ ほとんど確実に成り立ち、これは右への零再帰または非再帰的挙動を示す。