[論文レビュー] Birthday Paradox, Monochromatic Subgraphs, and the Second Moment Phenomenon

Bhaswar B. Bhattacharya, Somabha Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$G_n$ のランダムな頂点彩色において、固定されたグラフ $H$ の単色コピーの数が、$c_n$ 色で彩色されるとき、平均と分散の両方が同じ極限 $ olambda$ に収束する限り、その分布がポアソン分布に収束することを確立している。第二モーメント現象はすべてのグラフ $H$ に対して普遍的に成り立つが、その条件が必要十分であるのは $H$ がスターフォームのときのみであり、結果は独立なポアソン確率変数の線形結合に関する一般極限定理へと拡張される。

ABSTRACT

What is the chance that among a group of $n$ friends, there are $s$ friends all of whom have the same birthday? This is the celebrated birthday problem which can be formulated as the existence of a monochromatic $s$-clique $K_s$ ($s$-matching birthdays) in the complete graph $K_n$, where every vertex of $K_n$ is uniformly colored with $365$ colors (corresponding to birthdays). More generally, for a general connected graph $H$, let $T(H, G_n)$ be the number of monochromatic copies of $H$ in a uniformly random coloring of the vertices of the graph $G_n$ with $c_n$ colors. In this paper we show that $T(H, G_n)$ converges to $\mathrm{Pois}(\lambda)$ whenever $\mathbb E T(H, G_n) ightarrow \lambda$ and $\mathrm{Var} T(H, G_n) ightarrow \lambda$, that is, the asymptotic Poisson distribution of $T(H, G_n)$ is determined just by the convergence of its mean and variance. Moreover, this condition is necessary if and only if $H$ is a star-graph. In fact, the second-moment phenomenon is a consequence of a more general theorem about the convergence of $T(H,G_n)$ to a finite linear combination of independent Poisson random variables. As an application, we derive the limiting distribution of $T(H, G_n)$, when $G_n\sim G(n, p)$ is the Erdős-Renyi random graph. Multiple phase-transitions emerge as $p$ varies from 0 to 1, depending on whether the graph $H$ is balanced or unbalanced.

研究の動機と目的

• 固定されたグラフ $H$ の単色コピーの数が、$G_n$ のランダムな頂点彩色においていつポアソン分布に収束するかを特定すること。
• 第一および第二モーメントの収束に基づいて、単色部分グラフの分布がポアソンに収束する「第二モーメント現象」が成立する条件を同定すること。
• 単一のポアソン極限を超えて、独立なポアソン確率変数の有限線形結合を含む一般収束定理に結果を拡張すること。
• エレース・レニのランダムグラフ $G(n,p)$ の場合に $T(H, G_n)$ の極限分布を分析し、$H$ のバランスの有無に基づく相転移を同定すること。

提案手法

• $G_n$ の頂点を一様ランダムに $c_n$ 色で彩色するとき、固定されたグラフ $H$ の単色コピーの数を $T(H, G_n)$ と定義する。
• すべての $n$ に対して $\mathbb{E}[T(H, G_n)] \to \lambda$ かつ $\mathrm{Var}[T(H, G_n)] \to \lambda$ であるとき、$T(H, G_n) \xrightarrow{d} \mathrm{Pois}(\lambda)$ が成り立つことが示され、この条件が必要十分であるのは $H$ がスターフォームのときのみである。
• 適切なモーメント条件の下で、$T(H, G_n)$ が独立なポアソン確率変数の有限線形結合に分布収束することを示す一般極限定理を証明する。
• 一般定理を $G_n \sim G(n,p)$ の場合に適用し、$p$ が 0 から 1 に変化する際の $T(H, G_n)$ の挙動を分析する。
• $H$ がバランス型かアンバランス型かに応じて、極限分布における相転移を、$H$ の構造的性質に基づいて分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたグラフ $H$ の単色コピーの数が、$G_n$ のランダム彩色においていつ分布収束してポアソン確率変数に近づくか。
• RQ2 第一および第二モーメントが同じ極限 $ olambda$ に収束することは、第二モーメント現象が成立するための必要十分条件か。
• RQ3 一般的なモーメント条件のもとで、$T(H, G_n)$ の極限分布が独立なポアソン確率変数の有限線形結合として特徴付けられるか。
• RQ4 エレース・レニのランダムグラフ $G(n,p)$ における $T(H, G_n)$ の極限分布は $p$ にどのように依存するか。また、$H$ の構造に基づいてどのような相転移が生じるか。

主な発見

• 固定されたグラフ $H$ の単色コピーの数が、$G_n$ のランダム彩色において $\mathrm{Pois}(\lambda)$ に分布収束するための必要十分条件は、$\mathbb{E}[T(H, G_n)]$ と $\mathrm{Var}[T(H, G_n)]$ がともに $\lambda$ に収束することであり、この条件が必要十分であるのは $H$ がスターフォームのときのみである。
• 一般の $H$ に対しては、第一および第二モーメントが適切に収束する限り、$T(H, G_n)$ の極限分布は独立なポアソン確率変数の有限線形結合である。
• エレース・レニのランダムグラフ $G(n,p)$ では、$p$ が 0 から 1 に増加するに従い、$T(H, G_n)$ の極限分布に複数の相転移が生じる。これは $H$ がバランス型かアンバランス型かに依存する。
• 第二モーメント現象は、$T(H, G_n)$ がポアソン混合に収束するより深い構造的定理の結果であり、一般化された誕生日問題を任意のグラフへと拡張するものである。