[論文レビュー] Bisector surfaces and circumscribed spheres of tetrahedra derived by translation curves in $\SOL$ geometry

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|May 10, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ΓΟΛ$幾何における平行移動曲線と二等辺曲面を調査し、2点間の平行移動的二等辺曲面の式を導出し、四面体の外接平行移動球の外心および外接半径を計算する手法を確立する。主な結果として、平行移動三角形における二等辺性は、等しい角を意味しないことが示され、三角不等式も成立しないことから、$ΟΟΟ$幾何における非ユークリッド的性質が顕在化する。

ABSTRACT

In the present paper we study the $\SOL$ geometry that is one of the eight homogeneous Thurston 3-geomet\-ri\-es. We determine the equation of the translation-like bisector surface of any two points. We prove, that the isosceles property of a translation triangle is not equivalent to two angles of the triangle being equal and that the triangle inequalities do not remain valid for translation triangles in general. Moreover, we develop a method to determine the centre and the radius of the circumscribed translation sphere of a given {\it translation tetrahedron}. In our work we will use for computations and visualizations the projective model of $\SOL$ described by E. Molnár in \cite{M97}.

研究の動機と目的

• 平行移動曲線の幾何的性質を、均一なターフォン幾何である$ΟΟΟ$幾何において分析すること。
• $ΟΟΟ$空間における任意の2点間の平行移動的二等辺曲面の式を導出すること。
• 平行移動三角形における三角不等式および二等辺性の妥当性を検証すること。
• 四面体の外接平行移動球の外心および外接半径を計算するための手法を開発すること。
• $ΟΟΟ$幾何の射影モデルを用いて、幾何的対象の可視化および計算を実施すること。

提案手法

• 本稿では、E. Molnárが述べた$ΟΟΟ$幾何の射影モデルを用い、点および変換を代数的に表現する。
• 平行移動曲線は、$ΟΟΟ$リー群の右不変ベクトル場の接ベクトルを持つ曲線として定義され、これにより常微分方程式系が得られる。
• 群乗法から導かれる平行移動距離関数$d^t$を用い、2点間の等距離面を定義する。
• 2点間の二等辺曲面は、$d^t$による等距離な点の軌跡として計算され、これにより補題3.3を用いて明示的な代数的式が得られる。
• 四面体の外心は、$d^t(A_i, C) = d^t(A_j, C)$（$i,j \in \{1,2,3,4\}$, $i<j$）の連立方程式を、二等辺曲面の式を用いて解くことで得られる。
• 外心$C$が特定された後、外接半径は$r = d^t(A_1, C)$として計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平行移動三角形における二等辺性は、$ΟΟΟ$幾何において2つの角が等しいことを意味するか？
• RQ2 $ΟΟΟ$幾何における平行移動三角形に対して、標準的な三角不等式が成り立つか？
• RQ3 平行移動距離を用いることで、$ΟΟΟ$幾何における任意の四面体の外心および外接半径を一意に決定できるか？
• RQ4 $ΟΟΟ$空間における2点間の平行移動的二等辺曲面の代数的形は何か？
• RQ5 $ΟΟΟ$幾何において、平行移動三角形の3頂点から等距離にある点の軌跡は、どのようにパラメータ表示できるか？

主な発見

• 平行移動三角形における二等辺性は、2つの角が等しいことと同値でないことが示され、$ΟΟΟ$幾何における非ユークリッド的性質が顕在化する。
• 平行移動三角形において一般に三角不等式は成立せず、これはユークリッド的距離性質からの逸脱を示唆する。
• 任意の平行移動四面体の外心および外接半径は、平行移動距離の等しさから導かれる連立方程式を解くことにより、一意に決定可能である。
• 頂点が$[x,y]$-平面上（$z=0$）にある平行移動三角形に対して、等距離点の軌跡は、式(3.9)に示されるように$z$に関する有理関数でパラメータ表示される。
• 頂点$A_1=(1,0,0,0)$, $A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$, $A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$, $A_4=(1,\frac{1}{20},\frac{3}{20},\frac{1}{5})$の四面体の外接半径は、$r \approx 0.14688$にほぼ等しい。
• 頂点$A_1=(1,0,0,0)$, $A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$, $A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$, $A_4=(1,-\frac{3}{20},-\frac{3}{20},\frac{3}{10})$の四面体の外接半径は、$r \approx 0.36332$にほぼ等しい。