[論文レビュー] Bisimulations for Nondeterministic Labeled Markov Processes

Pedro R. D’Argenio, Pedro Sánchez Terraf+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続的な確率的遷移と内部の非決定性を併せ持つシステムをモデル化するため、非決定的ラベル付きマルコフ過程（NLMP）を導入する。3種類の bisimulation 概念—従来のもの、状態ベースのもの、イベントベースのもの—を定義し、最大の状態 bisimulation がイベント bisimulation と一致することを証明する。主な貢献は、イベント bisimulation を特徴付けるヘンネシー・ミラー風の論理であり、像有限かつ解析的ボレル空間の条件下では、すべての bisimulation 概念が同値に退化する。

ABSTRACT

We extend the theory of labeled Markov processes with internal nondeterminism, a fundamental concept for the further development of a process theory with abstraction on nondeterministic continuous probabilistic systems. We define nondeterministic labeled Markov processes (NLMP) and provide three definition of bisimulations: a bisimulation following a traditional characterization, a state based bisimulation tailored to our "measurable" non-determinism, and an event based bisimulation. We show the relation between them, including that the largest state bisimulation is also an event bisimulation. We also introduce a variation of the Hennessy-Milner logic that characterizes event bisimulation and that is sound w.r.t. the other bisimulations for arbitrary NLMP. This logic, however, is infinitary as it contains a denumerable $\lor$. We then introduce a finitary sublogic that characterize all bisimulations for image finite NLMP whose underlying measure space is also analytic. Hence, in this setting, all notions of bisimulation we deal with turn out to be equal. Finally, we show that all notions of bisimulations are different in the general case. The counterexamples that separate them turn to be non-probabilistic NLMP.

研究の動機と目的

• ラベル付きマルコフ過程（LMP）を内部の非決定性を含めるように拡張し、連続的確率的システムにおける抽象化を可能にする。
• 非決定的ラベル付きマルコフ過程（NLMP）に対して、従来のもの、状態ベースのもの、イベントベースのものという3つの bisimulation 概念を定義し、それらを比較する。
• イベント bisimulation を特徴付けるモーダル論理を開発し、他の bisimulation 形式に対しても妥当であることを示す。
• 画像有限かつ解析的ボレル空間上での NLMP において、すべての bisimulation 概念が一致する条件を同定する。
• 一般の場合において、3つの bisimulation 概念が相異なることを示す自然な反例を提示し、非決定的確率的システムの意味論についての洞察を提供する。

提案手法

• NLMP を、状態空間、ラベル、および各状態とラベルに対して可測な確率測度の集合を割り当てる遷移関数として定義する。
• Giry の確率測度空間に σ-代数を導入し、遷移関数の可測性を保証する。
• 3つの bisimulation 関係を定義する：従来のもの（状態間の関係に基づく）、状態ベースのもの（可測不変性）、イベントベースのもの（部分 σ-代数の細分化）。
• 状態論理式と測度論理式を備えた2種類の論理式を持つヘンネシー・ミラー風の論理を構築し、可算無限論理和を許容することで内部の非決定性を捉える。
• この論理がイベント bisimulation を完全に特徴付けられ、従来のものおよび状態 bisimulation に対しても妥当であることを証明する。
• 画像有限な NLMP が解析的ボレル空間上にある場合、3つの bisimulation 概念がすべて同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベル付きマルコフ過程は、可測構造を保ったまま、内部の非決定性を統合することができるか？
• RQ2 NLMP における従来のもの、状態ベースのもの、イベントベースの bisimulation の関係は何か？
• RQ3 NLMP におけるイベント bisimulation を特徴付けるモーダル論理は存在するか？ また、他の bisimulation 概念とはどのように関係するか？
• RQ4 NLMP において、従来のもの、状態、イベント bisimulation が一致する条件は何か？
• RQ5 3つの bisimulation 概念が相異なる自然な反例は存在するか？ それらは非決定的確率的システムの意味論について何を明らかにするか？

主な発見

• NLMP における最大の状態 bisimulation は、イベント bisimulation でもある。これは LMP 理論における重要な結果を一般化する。
• 可算無限論理和を許容するヘンネシー・ミラー風の論理は、NLMP におけるイベント bisimulation を完全に特徴付ける。
• 画像有限な NLMP が解析的ボレル空間上にある場合、3つの bisimulation 概念（従来のもの、状態、イベント）はすべて同値である。
• 一般の場合において、3つの bisimulation 概念が相異なる反例が存在する。特に顕著な差は、非可算な分岐空間上での非確率的 NLMP において生じる。
• 一般には、従来の bisimulation は状態 bisimulation よりも細かく、これは状態 bisimulation が観測可能な振る舞いの記述に適している可能性を示唆する。
• 反例において、論理は特定の非可測または可測な集合を区別できないため、追加のラベル構造がなければ、すべての行動的差を捉えることはできないと示唆する。