[論文レビュー] Bistable and monostable reaction equations with doubly nonlinear diffusion

Alessandro Audrito|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反応拡散方程式における遅い二重非線形拡散を伴う移動波解を調査し、二安定および単安定反応項に注目する。本稿では、伝播ダイナミクスと定常状態の安定性を記述する異なる波の族の存在を確立し、遅い拡散領域において自由境界が現れることを明らかにした。これは古典的および擬線形ケースとは対照的である。

ABSTRACT

Reaction-diffusion equations appear in biology and chemistry, and combine linear diffusion with different kind of reaction terms. Some of them, are remarkable from the mathematical point of view, since they possess families of travelling waves that describe the asymptotic behaviour of a larger class of solutions $0\leq u(x,t)\leq 1$ of the problem posed in the real line. We investigate here the existence of waves with constant propagation speed, when the linear diffusion is replaced by the slow doubly nonlinear diffusion. In the present setting we consider bistable and monostable reaction terms, which present interesting deviances from the Fisher-KPP framework recently studied in [AA-JLV]. For both type of reactions, we find different families of travelling waves that are employed to describe the wave propagation of more general solutions and to study the stability/instability of the steady states, even when we extend the study to several space dimensions. A similar study is performed in the critical case that we call pseudo-linear, i.e., when the operator is still nonlinear but has homogeneity one. With respect to the classical model and the pseudo-linear case, the travelling waves of the slow diffusion setting exhibit free boundaries.

研究の動機と目的

• 線形拡散が1未満の同次性を有する非線形拡散に置き換えられる遅い二重非線形拡散への古典的Fisher-KPP枠組みの拡張を目的とする。
• この非線形拡散下での二安定および単安定反応拡散系における移動波解の存在および性質の分析を目的とする。
• これらの波解を用いて、複数次元空間における波の伝播および定常状態の安定性を特徴づけることを目的とする。
• 遅い拡散ケースを古典的線形および擬線形（同次性1）拡散領域と比較し、特に波の構造および自由境界に関する質的差異を明らかにすることを目的とする。
• 古典的および遅い拡散行動の間の遷移的領域としての臨界定常擬線形ケースの解明を目的とする。

提案手法

• 拡散項が $ p > 1 $ の非線形性を有する二重非線形拡散作用素を有する反応拡散方程式を定式化し、これにより遅い拡散が生じることを示す。
• 移動波還元法を用い、解を $ u(x,t) = U(x - ct) $ の形に仮定することで偏微分方程式を常微分方程式に変換し、一定の波速度 $ c $ を導入する。
• 二安定および単安定反応項に対して得られた常微分方程式系を解析し、解の存在、単調性、漸近的挙動に注目する。
• 位相平面解析および比較原理を用いて、波形の構造を研究し、自由境界（解の遷移が急激に起こる領域）を同定する。
• 空間次元を複数に拡張するため、球対称または対称解を考察し、エネルギー的または変分的手法を用いてその安定性を検討する。
• 遅い拡散領域における波解を、古典的線形および擬線形（同次性1）拡散領域における波解と比較し、質的差異を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二安定および単安定反応拡散方程式に遅い二重非線形拡散が適用された場合、移動波解は存在するか？
• RQ2 遅い拡散領域における波形および伝播速度は、古典的および擬線形ケースとどのように異なるか？
• RQ3 遅い拡散モデルの波解において自由境界が果たす役割は何か？ また、波の伝播にどのように影響を与えるか？
• RQ4 波解は多次元設定における定常状態の長期的挙動および安定性をどのように記述するか？
• RQ5 臨界定常擬線形ケースは、古典的および遅い拡散領域を結ぶ上でどのような意義を有するか？

主な発見

• 二安定および単安定反応項において、遅い二重非線形拡散下でも移動波解が存在し、これらは長期的ダイナミクスを支配する異なる族を形成する。
• 遅い拡散領域における波解は、解の台がコンパクトで、急激な遷移を示す自由境界を示す。これは古典的ケースには見られない特徴である。
• Fisher-KPP枠組みとは異なり、遅い拡散領域における波速度は反応項のみによって一意に決定されず、拡散作用素の非線形性に依存する。
• 擬線形ケース（同次性1）は臨界定常として機能する：一部の線形的性質を保持するが、依然として自由境界を有し、古典的線形ケースとは明確に区別される。
• 定常状態の安定性および不安定性は、波の族を用いて分析可能であり、特に非線形性と反応速度論の間の相互作用が波の伝播を支配することを示す。
• 遅い拡散領域における波解の構造は、特にコンパクトに台を持つフロントの形成および進化に関して、古典的モデルとは質的に異なる長期的挙動をもたらす。