[論文レビュー] Bit-size estimates for triangular sets in positive dimension

Xavier Dahan, Abdulilah Kadri+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2010

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℚ 上の正次元代数的集合を表す三角的集合における係数の最悪ケースのビットサイズ推定値を提供する。これは、従来の研究がゼロ次元の場合に限られていたのを拡張したものである。評価と補間技術を高さ理論と組み合わせることで、基礎となる代数的集合の次数と高さにのみ依存する明示的な上界を導出する。これにより、モジュラアルゴリズムの理論的解析や多項式系の解法における係数成長の解析が可能になる。

ABSTRACT

We give bit-size estimates for the coefficients appearing in triangular sets describing positive-dimensional algebraic sets defined over Q. These estimates are worst case upper bounds; they depend only on the degree and height of the underlying algebraic sets. We illustrate the use of these results in the context of a modular algorithm. This extends results by the first and last author, which were confined to the case of dimension 0. Our strategy is to get back to dimension 0 by evaluation and inter- polation techniques. Even though the main tool (height theory) remains the same, new difficulties arise to control the growth of the coefficients during the interpolation process.

研究の動機と目的

• 従来のℚ 上のゼロ次元代数的集合に対する三角的集合のビットサイズ推定を、正次元代数的集合へと拡張すること。
• 正次元設定における補間処理における係数成長の制御という課題に取り組むこと。
• 確率的モジュラアルゴリズムの解析に不可欠な、係数のビットサイズに対する理論的上限を提供すること。
• 従来の方法がアーキメデス的絶対値の欠如により失敗した、有理関数体ℚ(𝑌)における係数サイズ推定のギャップを埋めること。
• 正次元における三角的分解のための効率的アルゴリズムの設計と解析を支援すること。

提案手法

• 評価と補間技術を適応させ、正次元問題をゼロ次元問題に還元すること。
• 高さ理論と算術的Nullstellensatzを用いて、補間結果における係数サイズを制限すること。
• 算術的Bézout定理と結果式および代数的集合の次数・高さ推定を用いて、補間中の成長を制御すること。
• 行列の小行列と線形結合を用いて、システムを三角化し、中間多項式の次数と高さを制限すること。
• 算術的Nullstellensatz（Krick et al., 2001）を明示的な境界を得るために導出し、$1 - SH$、$J$、および$f_i$ を含むシステムに適用すること。
• 個々の成分（$A_2$、$A_3$）の境界を組み合わせて、最終的な三角的集合の係数に対するグローバルなビットサイズ推定を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上の正次元代数的集合を表す三角的集合における係数の最悪ケースのビットサイズ境界は何か？
• RQ2 ゼロ次元の結果を正次元に持ち上げる際の補間処理における係数成長は、どのように制御できるか？
• RQ3 高さ理論は、正次元設定における有理関数体ℚ(𝑌)に対し、ビットサイズ推定を拡張できるか？
• RQ4 チャウ形式と結果式は、三角的表現の複雑さを推定するために果たす役割は何か？
• RQ5 これらの境界は、三角的分解のためのモジュラアルゴリズムの成功確率を解析するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 本稿では、係数のビットサイズ境界を $ O((m+n)^2 n^5 d^{4n+4}(n h + (m+n)^2 /\log(d))) $ として確立した。ここで $ d $ は次数、$ h $ は高さ、$ m,n $ は変数および方程式の数を表す。
• $ h(A_2) $ の境界は、算術的Nullstellensatzと結果式および代数的集合の次数・高さ推定を用いて導出された。
• $ A_3 $ の高さは $ O(d^{4n}(m n h + m^2 n /\log(d) + m(m+n)/\log(m+n))) $ で抑えられ、係数再構築の複雑さを反映している。
• 本手法は、$ \mathbb{Q}(\mathbf{Y}) $ にアーキメデス的絶対値が存在しないという制限を補間に基づく還元によって効果的に克服した。
• 導出された境界は明示的であり、モジュラアルゴリズムに適用可能であり、成功確率と係数成長の理論的解析を可能にする。
• 結果として、高さに基づく複雑さ解析の適用範囲が正次元系にまで拡張され、アルゴリズム的代数幾何学における重要なギャップが埋められた。