[論文レビュー] Bitwistor formulation of massive spinning particle

Sergey Fedoruk, V.G. Zima|ArXiv.org|Aug 22, 2003

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、二つのトゥイスターと二つの複素スカラーを導入することで、任意スピンをもつ質量のあるスピン粒子のトゥイスター形式を提示する。これにより「ボソン的スーパートゥイスター」構造が得られる。調和変数とゲージ固定を用いて、物理状態スペクトルが固定された質量とスピン $J$ をもつ $SL(2,C)/SU(2)$ 上の波動関数として得られる正準量子化が導かれる。カシミール作用素により、質量とスピン $J$ が固定され、粒子の物理的状態スペクトルが確認される。

ABSTRACT

Twistor formulation of massive arbitrary spin particle has been constructed. Twistor space of such particle is formed two twistors and two complex scalars which form together 'bosonic supertwistor'. The formulation is deduced from space-time one for spinning particle by means of introducing auxiliary harmonic variables and consequent partial fixing of gauges. It is carried out the canonical quantization of twistor massive particle with nonzero spin. It is found the eigenvalues of Casimir operators on particle states and harmonic expansion of wave function in spectrum.

研究の動機と目的

• 質量のあるスピン粒子に対して任意スピンをもつトゥイスター形式を構築し、従来の質量ゼロ粒子に限定されたトゥイスター手法を拡張すること。
• 特に変数の選択、制約条件、ラグランジアン構造の面で、トゥイスタースペース内での質量のあるスピン状態の記述という課題を解決すること。
• トゥイスターモデルの整合的な正準量子化を構築し、カシミール作用素を用いて物理状態を同定すること。
• 同調和空間 $SL(2,C)/SU(2)$ 上での波動関数の調和展開を導出し、ポincare群のユニタリ表現と関連付けること。
• インデックス・スピンルールと調和変数を用いて、トゥイスターモデルと標準的な時空形式の質量のあるスピン粒子との対応関係を確立すること。

提案手法

• インデックス・スピンルールを用いて質量のあるスピン粒子の時空形式を拡張するため、ローレンツ調和変数 $v^i_\beta$, $\bar{v}^{\dot{\alpha}}_i$ を導入する。
• 部分的ゲージ固定を適用して、二つのトゥイスター $\lambda^i_\alpha$, $\bar{\lambda}^{\dot{\alpha}}_i$ と二つの複素スカラー $\phi^i$, $\bar{\phi}_i$ を含むモデルに還元し、「ボソン的スーパートゥイスター」構造を形成する。
• 正準変換と制約を介して、時空作用からトゥイスターラグランジアン (57) を導出し、ポincare対称性と整合することを保証する。
• トゥイスターモデルの正準量子化を実行し、波動関数に制約を課して物理状態を定義する。
• 調和展開を $SL(2,C)/SU(2)$ 上で行い、固定された重み $M = -J, \dots, J$ を持つ基本系列の表現で波動関数を表す。パrameter $\chi = ((M + i\rho)/2, (-M + i\rho)/2)$ を用いる。
• 生成子 $\mathcal{D}_r$ を $SU(2)$-に類似した演算子とし、$M$-インデックス上で作用させ、$\mathcal{D}_3 \Psi_M = -M \Psi_M$ を満たすことで、スピン多重項構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量のあるスピン状態を、質量粒子の先行研究が存在しないトゥイスタースペースで一貫して記述するにはどうすればよいか？
• RQ2 トゥイスターフォーマルィズムを質量のあるスピン粒子に実現するにあたり、適切な変数、制約、ラグランジアン構造は何か？
• RQ3 調和変数とゲージ固定を組み合わせることで、二つのトゥイスターと二つの複素スカラーを含む一貫したビトゥイスターモデルがどのように得られるか？
• RQ4 正準量子化の後に得られる物理状態のスペクトルは何か？また、ポincare群のカシミール作用素はそれらにどのように作用するか？
• RQ5 質量のあるトゥイスターモデルの波動関数はどのように調和展開されるか？また、$SL(2,C)$ のユニタリ表現とどのような関係にあるか？

主な発見

• 質量のあるスピン粒子のトゥイスターフォーマルィズムは、ゲージ固定された調和変数を経由して得られる「ボソン的スーパートゥイスター」構造、すなわち二つのトゥイスター $\lambda^i_\alpha$, $\bar{\lambda}^{\dot{\alpha}}_i$ と二つの複素スカラー $\phi^i$, $\bar{\phi}_i$ によって実現される。
• 正準量子化の結果、物理状態は固定された質量 $m$ と固定されたスピン $J$ をもつ。カシミール作用素により $p^2 = -m^2$ および $W^2 = -m^2 j(j+1)$ が得られ、質量のある粒子状態と整合的である。
• 波動関数 $\Psi_M(\lambda, \bar{\lambda})$ は同調和空間 $SL(2,C)/SU(2)$ 上に定義され、$SU(2)$ に関して $\mathbf{D}^J_{MN}(h)$ を通じて変換し、$\mathcal{D}_3 \Psi_M = -M \Psi_M$, $\mathcal{D}_\pm \Psi_M = -\sqrt{(J \mp M)(J \pm M + 1)} \Psi_{M \pm 1}$ を満たす。
• 波動関数の調和展開は $\Psi_M(\lambda) = -\frac{1}{32\pi^2} \int_{-\infty}^\infty d\rho (M^2 + \rho^2) \, \text{Tr}\left(F_M(\chi) T^{-1}_\chi(\lambda)\right)$ で与えられ、$\chi = ((M + i\rho)/2, (-M + i\rho)/2)$ であり、$SL(2,C)$ の主系列に対応する。
• 最高および最低重量状態 $\Psi_{\pm J}$ は $\mathcal{D}_\pm \Psi_{\pm J} = 0$, $\mathcal{D}_3 \Psi_{\pm J} = \pm J \Psi_{\pm J}$, および $({\cal D}_{\mp})^{2J+1} \Psi_{\pm J} = 0$ で定義され、有限次元の $(2J+1)$-次元スピン多重項を保証する。
• 本モデルは、トゥイスタースペース内での質量のあるスピン粒子の整合的な量子化を実現しており、波動関数は $SU(2)$ に関して共変的に変換され、調和分解を通じて全スピン-$J$ 表現が符号化されている。