[論文レビュー] Bivariant Hopf cyclic cohomology

Atabey Kaygun, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、bialgebra $H$ 上の $H$-module代数および $H$-module余代数に対して、bivariant Hopf cyclic cohomology および bivariant 同変 cyclic cohomology を導入し、Connes の cyclic category を $H$-同変な設定に拡張する。これらの理論は、Hopf cyclic cohomology 及びその双対を一般化し、Morita 不変性を示し、外部積を介して周期性 $S$-作用素を有する。これにより、cyclic (co)homology と $H$-module (co)homology が一つの枠組みで統一される。

ABSTRACT

For module algebras and module coalgebras over an arbitrary bialgebra, we define two types of bivariant cyclic cohomology groups called bivariant Hopf cyclic cohomology and bivariant equivariant cyclic cohomology. These groups are defined through an extension of Connes' cyclic category $Λ$. We show that, in the case of module coalgebras, bivariant Hopf cyclic cohomology specializes to Hopf cyclic cohomology of Connes and Moscovici and its dual version by fixing either one of the variables as the ground field. We also prove an appropriate version of Morita invariance for both of these theories.

研究の動機と目的

• $H$-module代数および余代数に対する Hopf cyclic cohomology の bivariant 拡張を構築し、Connes-Moscovici理論を一般化すること。
• cyclic (co)homology と $H$-module (co)homology を、cyclic category $\Lambda$ の $H$-同変拡張を通じて一つの枠組みに統合すること。
• $H$-同変 Morita 同値の下でモジュラー余代数の $H$-同変なモジュラー不変性を確立すること。
• $S$-作用素および外部積構造を定義し、$HC^*_H(k,k;k,k)$ がすべての bivariant cohomology 群に作用することを示すこと。

提案手法

• bialgebra $H$ から構成される大きな代数 $\mathcal{P}(H)$ を用いて、cyclic $H$-加群およびその変種を定義し、Connes の cyclic category $\Lambda$ を $H$-同変な設定に一般化する。
• cyclic $H$-加群の圏における $\mathrm{Ext}$ 群として bivariant cohomology 群を構成し、cyclic category の $H$-同変構造を用いる。
• モジュラー余代数に対して、$C$ の $k$-線形双対 $C^*$ を用いて双対 $H$-モジュラー代数 $C^*$ を定義し、$C^*$ が $H$-モジュラー代数として $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$ に同型であることを示す。
• スペクトル系列を用いて bivariant 同変 cohomology を通常の Hopf cyclic cohomology と関係づけ、Hopf cyclic cohomology が $E_2$-項に現れることを示す。
• 外部積を用いて、$HC^*_H(k,k;k,k)$ および $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ がすべての bivariant cohomology モジュールに次数付き作用を定めることを確立する。
• モジュラー余代数の $H$-同変なカテゴリ $\mathbf{proj}_H\text{--}C$ と $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ が同値であるとき、それらの Hopf および同変 cyclic (co)homology が同型であることを示すことで、Morita 不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cyclic category $\Lambda$ の $H$-同変拡張を用いて、Hopf cyclic cohomology を $H$-module代数および余代数に対して bivariant 理論に一般化する方法は何か？
• RQ2 新しい bivariant 理論と、Connes および Moscovici の元の Hopf cyclic cohomology 及びその双対との関係は何か？
• RQ3 $S$-作用素および周期性が、bivariant $H$-同変設定に拡張可能か？ また、それらは cohomology 群にどのように作用するか？
• RQ4 これらの bivariant 理論がどれほど Morita 不変性を満たし、それらはモジュラー余代数の $H$-同変構造とどのように関係するか？
• RQ5 bivariant 理論は、cyclic (co)homology と $H$-module (co)homology をどのように一つの枠組みに統合するか？

主な発見

• $H$-モジュラー余代数 $C$ に対して、bivariant Hopf cyclic cohomology $HC^*_{\rm Hopf}(C,C';M,M')$ は、$C = k$ および $M = k$ のとき標準的な Hopf cyclic cohomology に特殊化され、$C' = k$ および $M' = k$ のときは双対理論に一致する。これにより、既存の構成と整合性が確認される。
• bivariant 同変 cohomology $HC^*_H(C,C';M,M')$ は、$E_2$-項が通常の Hopf cyclic cohomology であるスペクトル系列に収束する。これにより、自然な拡張としての性質が示される。
• $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ は外部積を介してすべての bivariant Hopf cyclic cohomology モジュールに作用し、この作用は $S$-作用素によって生成され、Connes の周期性を一般化する。
• $HC^*_H(k,k;k,k)$ は、$\mathrm{Ext}^*_H(k,k)$ および $S$-作用素代数の、次数付き $k$-代数拡張と同型であり、次数付き $k$-代数のスペクトル系列を介して得られる。
• モジュラー余代数に対して Morita 不変性が成立する：$\mathbf{proj}_H\text{--}C$ と $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ が $H$-同変に同値であるとき、$C^*$ と $C'^*$ は同型な Hopf および同変 cyclic (co)homology を持つ。
• $H$-モジュラー余代数 $C$ の $k$-線形双対 $C^*$ は、$H$-モジュラー代数として $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$ に同型である。これにより、理論における余代数と代数の間の重要な双対性のつながりが得られる。