[論文レビュー] Bivariant $K$-theory and the Weyl algebra

Joachim Cuntz|ArXiv.org|Jan 22, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換安定ホモトピー論と拡張の分類写像を用いて、局所凸代数（ウェイル代数を含む）に対する新しい二変量 $K$-理論 $kk^{ m alg}$ を導入する。主な結果は、ウェイル代数 $W$ が $kk^{ m alg}$ において $
mathbb{C}$ と同型であることであり、これによりその不変量が係数環 $R = kk^{ m alg}(
mathbb{C},
mathbb{C})$ によって決定されることを示す。この理論は、行列代数や $C^*$-代数的同型に関する応用を持つ。

ABSTRACT

We introduce a new version $kk^{ m alg}$ of bivariant $K$-theory that is defined on the category of all locally convex algebras. A motivating example is the Weyl algebra $W$, i.e. the algebra generated by two elements satisfying the Heisenberg commutation relation, with the fine locally convex topology. We determine its $kk^{ m alg}$-invariants using a natural extension for $W$. Using similar methods the $kk^{ m alg}$-invariants can be determined for many other algebras of similar type.

研究の動機と目的

• すべての局所凸代数の圏に対して、乗法的半ノルムを超える拡張を許す二変量 $K$-理論 $kk^{\rm alg}$ を開発すること。
• 乗法的半ノルムによって位相化できないような代数（例えばウェイル代数）の $kk^{\rm alg}$-不変量を計算するための枠組みを提供すること。
• 二変数 $kk^{\rm alg}(A,B)$ から周期的循環ホモロジー $HP_*(A,B)$ へのチャーン＝コンヌ写像を確立し、$K$-理論的不変量とホモロジー的不変量を結びつけること。
• $kk^{\rm alg}(W, W) \cong R$ および $W$ が $kk^{\rm alg}$ において $
  mathbb{C}$ と同型であることを示し、ウェイル代数の自然な拡張を用いて証明すること。
• 古典的 $kk$-理論と $kk^{\rm alg}$ を比較し、$kk^{\rm alg}$ は係数の制御を失うものの、特定の代数に対しては強力な計算能力を保っていることを示すこと。

提案手法

• 両変数のスuspension に関する帰納的極限を用いて、逆ボット写像の代わりに非可換安定ホモトピー論として $kk^{\rm alg}$ を定義する。
• トムの学位論および三角圏の形式的記法にインspiredされた、高長さの拡張の分類写像を用いて理論を構築する。
• ウェイル代数 $W$ に対して、自然な拡張 $0 \to I \to W' \to W \to 0$ を構成する。この拡張は線形的に分裂可能であり、$
  bar{I}$ が $m$-代数であるように完備化可能である。
• 完成化された拡張 $0 \to \bar{I} \to \bar{W}' \to W \to 0$ に対して、$kk$、$kk^{\rm alg}$、$HP_*$ における長完全系列を適用し、可換図式を用いて不変量を比較する。
• チャーン＝コンヌ写像を用いて $kk^{\rm alg}$ を周期的循環ホモロジーと関連づけ、$R = kk^{\rm alg}(
  mathbb{C},
  mathbb{C})$ が $
  mathbb{C}$ に写像する単位的環であり、後で $R = \mathbb{Z}$ であることが示されることに注意する。
• $kk^\text{alg}_*(\mathbb{C}, \bar{W}') = HP_*(\mathbb{C}, \bar{W}') = 0$ および $kk_1(\mathbb{C}, \bar{I}) = \mathbb{Z}$ を用いて、$kk_0(\mathbb{C}, W) \cong \mathbb{Z}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的半ノルムによって位相化できない代数を含め、すべての局所凸代数に対して二変量 $K$-理論を定義できるか？
• RQ2 ウェイル代数 $W$ の $kk^{\rm alg}$-不変量は何か？ また、$
  mathbb{C}$ とどのように比較できるか？
• RQ3 $kk^{\rm alg}$-理論は周期的循環ホモロジーおよび古典的 $kk$-理論とどのように関係しているか？
• RQ4 $kk^{\rm alg}$ は、$k \neq l$ のとき $M_k(W) \not\cong M_l(W)$ であるような行列代数の非同型を検出できるか？
• RQ5 $C^*$-代数的テンソル積 $W \hat{\otimes} \mathcal{O}_n$ に対して、$kk^{\rm alg}$ から得られる微分ホモトピー不変量は何か？

主な発見

• ウェイル代数 $W$ は圏 $kk^{\rm alg}$ において $
  mathbb{C}$ と同型であり、任意の $A$ に対して $kk^{\rm alg}(A, W) \cong kk^{\rm alg}(A, \mathbb{C})$ が成り立つ。
• 係数環 $R = kk^{\rm alg}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ は $
  mathbb{Z}$ と同型である（後に更新）。これにより $kk^{\rm alg}(A,B)$ が $
  mathbb{Z}$-加群であることが保証される。
• $D = \mathbb{C}$ のとき、$kk^\text{alg}$ における長完全系列から $kk^\text{alg}_0(\mathbb{C}, W) \cong \mathbb{Z}$ が得られ、$
  mathbb{Z}$-成分は単位写像 $\mathbb{C} \to W$ に由来する。
• $kk_0(\mathbb{C}, \mathbb{C}) \to kk_0(\mathbb{C}, W)$ の写像は単射であり、$\mathbb{Z}$ の $1$ が $W$ の単位の像にマッピングされることを確認し、$
  mathbb{Z}$-成分が正当化される。
• $k \neq l$ のとき $M_k(W) \not\cong M_l(W)$ であることが示され、任意の $\varphi: M_k(\mathbb{C}) \to \mathcal{K} \hat{\otimes} W$ が単位を $M_l(W)$ の単位にマッピングできるのは、$l$ が $k$ の倍数である場合に限ることを、微分ホモトピー不変量によって示す。
• $C^*$-代数 $\mathcal{O}_n$ に対して、$W \hat{\otimes} \mathcal{O}_n \cong W \hat{\otimes} \mathcal{O}_m$ となるのは $n = m$ のときのみであり、$kk_1(\mathbb{C}, \bar{I} \hat{\otimes} \mathcal{O}_n) = \mathbb{Z}$ であることから $n = m$ であることが示される。