[論文レビュー] Bivariate Chebyshev-I Weighted Orthogonal Polynomials on Simplicial Domains

Mohammad Alqudah|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の重み関数 $W(u,v,w) = u^{-1/2}v^{-1/2}(1-w)^\gamma$, $\gamma \geq 1$ を持つ三角形領域上に、閉形式で次数順に整列された2変数のチェビシェフI直交多項式 $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ の体系を構築する。多項式は変数分離と単変数のチェビシェフ多項式の直交性を用いて完全直交系を形成することが示され、ベルンシュタイン＝ベジエ係数の再帰関係を用いた効率的な計算が可能になる。

ABSTRACT

We construct a simple closed-form representation of degree-ordered system of bivariate Chebyshev-I orthogonal polynomials $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ on simplicial domains. We show that these polynomials $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w),$ $r=0,1,\dots,n;$ $n\geq 0$ form an orthogonal system with respect to the Chebyshev-I weight function.

研究の動機と目的

• 三角形領域上に次数順で閉形式の2変数直交多項式体系を構築すること。
• 重み関数 $W(u,v,w) = u^{-1/2}v^{-1/2}(1-w)^\gamma$, $\gamma \geq 1$ を用いて、次数およびインデックスの両方で直交する多項式を定義すること。
• 幾何設計および近似理論における効率的な数値計算を可能にするベルンシュタイン＝ベジエ係数の再帰関係を確立すること。
• 非一様重みを持つ単体領域上での多項式の直交性理論を2変数設定に拡張すること。
• 明示的な構造を持つ直交基底を用いた三角形上でのスペクトル法および近似理論の基盤を提供すること。

提案手法

• 多項式 $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ を $u/(1-w)$ における単変数のチェビシェフ多項式と $w$ における直交多項式の積として導出し、次数順序を保証する。
• 内積積分における変数分離を可能にするために重み関数 $W(u,v,w) = u^{-1/2}v^{-1/2}(1-w)^\gamma$ を用いる。
• 区間 $[-1,1]$ 上で重み $t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}$ を持つ単変数のチェビシェフI多項式 $T_r(t)$ の直交性を適用し、$r \neq s$ のとき $\mathscr{T}_{n,r}$ と $\mathscr{T}_{n,s}$ の相互直交性を証明する。
• 幾何設計応用を可能にするために多項式をベルンシュタイン＝ベジエ形式に表現する。
• ベルンシュタイン基底へのチェビシェフ多項式の展開および二項係数の恒等式を用いて、ベルンシュタイン＝ベジエ係数 $a_{ijk}^{n,r}$ の明示的公式を導出する。
• 直交性条件 $\langle B_{ijk}^{n-1}, \mathscr{T}_{n,r} \rangle = 0$ を用いて係数の再帰関係を確立し、段階的係数計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様重み関数を有する三角形領域上に、閉形式で次数順に整列された2変数のチェビシェフI直交多項式を構築できるか？
• RQ2 得られた多項式 $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ は、$\gamma \geq 1$ のもとで重み $W(u,v,w) = u^{-1/2}v^{-1/2}(1-w)^\gamma$ に関して完全直交系をなすか？
• RQ3 これらの直交多項式のベルンシュタイン＝ベジエ係数 $a_{ijk}^{n,r}$ の明示的形は何か？
• RQ4 係数 $a_{ijk}^{n,r}$ に対して再帰関係を導出できるか、これにより効率的な数値計算が可能になるか？
• RQ5 これらの多項式の構造は、スペクトル法や幾何モデリングなどの応用でどのように活用できるか？

主な発見

• 2変数多項式 $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ は、変数分離と単変数直交性を用いて、$\gamma > -1$ のもとで三角形領域 $T$ 上で重み $W(u,v,w) = u^{-1/2}v^{-1/2}(1-w)^\gamma$ に関して完全直交系を形成することが証明された。
• 多項式 $\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w)$ の明示的閉形式は、$\mathscr{T}_{n,r}(u,v,w) = (-1)^k \binom{n+r+1}{k} B_k^{n-r}(w, u+v) \sum_{i=0}^r c(i) B_i^r(u,v)$ で与えられ、ここで $k$ は $w$ における次数である。
• ベルンシュタイン＝ベジエ係数 $a_{ijk}^{n,r}$ は、$0 \leq k \leq n-r$ のとき $a_{ijk}^{n,r} = (-1)^k \frac{\binom{n+r+1}{k} \binom{n-r}{k}}{\binom{n}{k}} M_{i,r}^{n-k}$ で与えられ、それ以外の場合は0である。ここで $M_{i,r}^{n-k}$ は、次数 $r$ のチェビシェフI多項式のベルンシュタイン基底展開における係数である。
• 係数の再帰関係として $(i+1)a_{i+1,j,k}^{n,r} + (j+1)a_{i,j+1,k}^{n,r} + (k+1)a_{i,j,k+1}^{n,r} = 0$ が導出され、再帰的計算が可能になった。
• 係数 $a_{i,n-i,0}^{n,r}$ は明示的に $M_{i,r}^{n}$ に等しく、再帰の基本ケースを提供する。
• 構成法により、$\mathscr{T}_{n,r}$ がすべての次数 $\leq n-1$ の多項式および $r \neq s$ のとき $\mathscr{T}_{n,s}$ に対して直交することが保証され、直交系の性質が確認された。