[論文レビュー] Bivariate Exponentiated Generalized Linear Exponential Distribution with Applications in Reliability Analysis

Mohamed Ibrahim, Mohamed S. Eliwa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Marshall-Olkinショックモデルに基づき、信頼性解析における正の依存性を示す寿命の柔軟なモデル化を可能にする二変量指数型一般化線形指数分布（BEGLED）を提案する。この分布は、実データに対して既存の二変量モデルよりも良好なフィットを示し、閉形式の同時分布および周辺分布を備えており、シミュレーションおよび実データ解析によって検証されている。

ABSTRACT

The aim of this paper, is to define a bivariate exponentiated generalized linear exponential distribution based on Marshall-Olkin shock model. Statistical and reliability properties of this distribution are discussed. This includes quantiles, moments, stress-strength reliability, joint reliability function, joint reversed (hazard) rates functions and joint mean waiting time function. Moreover, the hazard rate, the availability and the mean residual lifetime functions for a parallel system, are established. One data set is analyzed, and it is observed that, the proposed distribution provides a better fit than Marshall-Olkin bivariate exponential, bivariate generalized exponential and bivariate generalized linear failure rate distributions. Simulation studies are presented to estimate both the relative absolute bias, and the relative mean square error for the distribution parameters based on complete data.

研究の動機と目的

• 信頼性工学における依存寿命データをモデル化するための柔軟な二変量分布の開発。
• Marshall-Olkinショックモデルを用いて、一変量の指数型一般化線形指数分布（EGLED）を二変量形式に拡張すること。
• 関連する統計的および信頼性上の性質（同時密度関数、ハザードレート、平均待機時間関数など）の導出および分析。
• シミュレーション研究および実データフィッティングを通じて、最尤推定の性能を評価すること。
• Marshall-Olkin二変量指数分布、二変量一般化指数分布、および二変量一般化線形故障率分布と比較して、BEGLEDが優れたフィットを示すことを示すこと。

提案手法

• Marshall-Olkinショックモデルに基づき、3つの独立なEGLED分布に従う確率変数 $U_1, U_2, U_3$ を用い、$X_k = \text{max}(U_k, U_3)$（$k=1,2$）と定義することで二変量分布を構築する。
• $x_1 < x_2$、$x_2 < x_1$、$x_1 = x_2$ の各場合について、同時分布関数（CDF）および確率密度関数（PDF）を区分的形で導出する。
• $X_1$ および $X_2$ の周辺分布を、パラメータ $\theta_i + \theta_3$ のEGLEDとして表現することで、モデルの柔軟性を保証する。
• 主な信頼性関数を確立する：同時逆（ハザード）レート、同時平均待機時間、応力-強度信頼性、並列システムのシステム可用率および平均残存寿命。
• 6つのパラメータ（$ heta_1, heta_2, heta_3, heta, heta$）の最尤推定（MLE）を用い、$ heta$ は形状およびスケールパラメータを表す。
• さまざまな標本サイズ（$n = 30, 50, 100, 200$）における相対絶対バイアスおよび相対平均二乗誤差（MSE）を計算するためのシミュレーション研究を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Marshall-Olkinショックモデルを用いて、指数型一般化線形指数分布の二変量拡張を構築し、依存寿命をモデル化できるか。
• RQ2 提案されたBEGLEDにおける、同時および周辺の信頼性関数（例えば、同時ハザードレートや平均待機時間）の挙動はいかなるものか。
• RQ3 Marshall-Olkin二変量指数分布、二変量一般化指数分布、および二変量一般化線形故障率分布といった既存の二変量モデルと比較して、BEGLEDはより優れた統計的フィットを示すか。
• RQ4 BEGLEDの6つのパラメータの最尤推定（MLE）のバイアスおよび平均二乗誤差（MSE）は、標本サイズの増加に伴いどのように変化するか。
• RQ5 BEGLEDは、競合モデルと比較して、実際の多変量寿命データへのフィッティングにおいて優れた性能を示すか。

主な発見

• BEGLEDは、Marshall-Olkin二変量指数分布、二変量一般化指数分布、および二変量一般化線形故障率分布と比較して、実データセットに対して優れたフィットを示した。
• すべてのパラメータの最尤推定（MLE）の相対絶対バイアスは、標本サイズの増加に伴い減少し、$ heta_1=0.5$ の場合、$n=30$ で 0.146 から $n=200$ で 0.023 にまで低下した。
• $ heta_1=0.5$ の場合、相対MSEは $n=30$ で 0.099 から $n=200$ で 0.012 にまで低下し、標本サイズが大きくなるに従い推定精度が向上することが示された。
• 95%信頼区間は、標本サイズの増加に伴い狭くなる。例えば、$ heta_1=0.5$ の場合、$n=30$ では (0.2091, 1.3758) から $n=100$ では (0.2977, 0.9242) にまで狭くなった。これは推定精度の向上を示している。
• 同時CDFおよびPDFは閉形式で得られ、正の相関を持つ非負の確率変数の信頼性モデリングにおける実用的応用を可能にする。
• 中央値相関係数 $M_{X_1,X_2}$ が導出され、二変量データの生成に用いることができ、シミュレーションおよびモデルの妥当性検証を支援する。