[論文レビュー] Bivariate Lagrange Interpolation on Tower Interpolation Sites

Tian Dong, Tao Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、2変数ラグランジュ補間のためのタワーサブセットを導入し、標準的項順序における次数低減型モノミアル基底およびニュートン基底の理論的計算を可能にする。これらの基底をブルーチャー＝モラー法に活用することで、タワーサブセットを直接入力するのと比較して、消失イデアルの削減グレブナー基底の計算が高速化される。

ABSTRACT

AbstractAs is well known, the geometry of the interpolation site of a multivariate polynomial interpola-tion problem constitutes a dominant factor for the structures of the interpolation polynomials.Solving interpolation problems on interpolation sites with special geometries in theory may bea key step to the development of general multivariate interpolation theory. In this paper, weintroduce a new type of 2-dimensional interpolation sites, tower interpolation sites, whose asso-ciated degree reducing Lagrange interpolation monomial and Newton bases w.r.t. fixed standardterm orders such as lexicographical order, total degree lexicographical order, etc. can be figuredout theoretically. Inputting these interpolation bases into Buchberger-Mo¨ller(BM) algorithm, wecan also construct the reduced Grobner bases for related vanishing ideals. Experimental resultsshow that in this way we can get the bases much faster than inputting tower sites directly intoBM algorithm. Keywords: Bivariate Lagrange interpolation, Degree reducing interpolation space, Towerinterpolation site, Grobner basis

研究の動機と目的

• タワーサブセットと呼ばれる2次元補間点の新しいクラスを定義し、その幾何的構造が補間基底の理論的導出を支援することを目的とする。
• リーマン順序や全次数リーマン順序を含む標準的項順序の下で、これらのサブセットに対する次数低減型モノミアル基底およびニュートン基底を計算することを目的とする。
• 導出された基底をブルーチャー＝モラー法に用いることで、これらの補間点の消失イデアルに対する削減グレブナー基底の構築をより高速化することを目的とする。
• 構造的幾何を持つ補間問題を解くための理論的基盤を確立し、一般化された多変数補間理論を前進させることを目的とする。

提案手法

• 特定の幾何的配置を持つ2次元補間点の新しいクラスとしてタワーサブセットを定義し、解析的基底計算を容易にする。
• リーマン順序や全次数リーマン順序を含む固定された標準的項順序の下で、これらのサブセットに対する次数低減型モノミアル基底およびニュートン基底を導出する。
• 直接的にサブセット点を入力する代わりに、導出された補間基底をブルーチャー＝モラー法に適用することで、計算効率を向上させる。
• 理論的基底導出により正しさが保証され、直接的なアルゴリズム入力よりも高速なグレブナー基底計算が可能になる。
• 導出された基底をブルーチャー＝モラー法の入力として用い、関連する消失イデアルの削減グレブナー基底を計算する。
• 実験により、導出基底を用いた場合と直接的なサブセット入力との比較で、グレブナー基底計算の著しい高速化が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン順序や全次数リーマン順序を含む標準的項順序の下で、その関連する次数低減型補間基底を理論的に計算可能な2次元補間点の新しいクラス—タワーサブセット—を定義できるか？
• RQ2 リーマン順序や全次数リーマン順序といった標準的項順序は、タワーサブセット上でのモノミアル基底およびニュートン基底の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ブルーチャー＝モラー法に導出された補間基底を入力として用いることで、直接的にサブセット点を入力する場合と比較して、削減グレブナー基底の計算がどの程度高速化されるか？
• RQ4 リーマン順序や全次数リーマン順序といった特別な幾何的構造（例：タワーコンfiguration）を持つ点を基準に補間問題を構造化することの理論的および計算的利点は何か？

主な発見

• タワーサブセットを用いることで、リーマン順序や全次数リーマン順序といった標準的項順序の下で、次数低減型モノミアル基底およびニュートン基底を理論的に導出可能である。
• 導出された補間基底をブルーチャー＝モラー法の入力として用いることで、タワーサブセット点を直接入力するのと比較して、削減グレブナー基底の計算が著しく高速化される。
• 実験結果により、本手法がタワーサブセットに対してブルーチャー＝モラー法を直接適用する場合に比べ、計算速度面で優れていることが確認された。
• 本手法は、補間基底および関連するグレブナー基底の構築に体系的なアプローチを提供し、一般化された多変数補間理論の発展を支援する。