[論文レビュー] Bivariate representation and conjugacy class zeta functions associated to unipotent group schemes

de Araujo, Paula Macedo Lins|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

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ひとこと要約

本稿は、数体の整数環上の単群的群スキームの合同剰余類における有限次元完全可約複素表現の同型類の数と共轭類の数を符号化する2変数ゼータ関数を導入する。ほとんどすべての局所因子について、オイラー因子分解、有理型、関数等式を確立し、クラス2の冪零群に対して明示的公式を、また有限ハイパーオクタヘドロン群を通じて連続的分布公式を提示する。

ABSTRACT

We introduce two bivariate zeta functions associated to unipotent group schemes over rings of integers of number fields. These zeta functions encode, respectively, the numbers of isomorphism classes of irreducible complex representations of finite dimensions and the numbers of conjugacy classes of congruence quotients of the associated groups. Our bivariate zeta functions specialise to (univariate) class number zeta functions associated to the relevant groups. In case of nilpotency class two, bivariate representation zeta functions also specialise to (univariate) twist representation zeta functions. We show that these zeta functions satisfy Euler factorisations and almost all of their Euler factors satisfy rationality and functional equations. We give explicit formulae for the bivariate zeta functions of some families of nilpotent groups of class two. The local bivariate representation zeta functions of these groups are also expressed in terms of sums over finite hyperoctahedral groups, which provides formulae for joint distributions of three statistics on such groups.

研究の動機と目的

• 単群的群スキームの合同剰余類における表現と共轭類の数を符号化する2変数ゼータ関数を定義すること。
• 一変数の類数関数およびねじれ表現ゼータ関数を2変数設定に一般化すること。
• これらのゼータ関数の局所因子について、オイラー因子分解および有理型性の性質を確立すること。
• クラス2の冪零群の場合に、ゼータ関数の明示的公式を導出すること。
• 局所表現ゼータ関数を有限ハイパーオクタヘドロン群上の和として表現し、3つの統計量の連続的分布公式を得ること。

提案手法

• 2つの2変数ゼータ関数を定義する：1つは単群的群スキームの有限剰余類における完全可約表現の数を、もう1つは共轭類の数を符号化する。
• 特定の状況において、2変数関数を一変数の類数関数およびねじれ表現ゼータ関数に特化する。
• ゼータ関数が数体の整数環上でオイラー因子分解を有することを証明する。
• ほとんどすべての局所オイラー因子が有理型および関数等式を満たすことを示す。
• 局所2変数表現ゼータ関数を有限ハイパーオクタヘドロン群上の和として表現する。
• これらの群論的和を用いて、クラス2の冪零群の族に対する明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、単群的群スキームの表現と共轭類のデータを同時に符号化する2変数ゼータ関数を構成できるか？
• RQ2 これらのゼータ関数は、局所因子についてオイラー因子分解および有理型性の性質を満たすか？
• RQ3 2変数ゼータ関数は、類数関数やねじれ表現ゼータ関数といった既知の一変数ゼータ関数にどのように特化するか？
• RQ4 局所表現ゼータ関数は、有限ハイパーオクタヘドロン群のような対称群に類似した構造を用いて表現可能か？
• RQ5 ゼータ関数の表現から、有限ハイパーオクタヘドロン群上の3つの統計量の連続的分布特性はどのように明らかになるか？

主な発見

• 2変数ゼータ関数は、数体の整数環上でオイラー因子分解を有する。
• ゼータ関数のほとんどすべての局所オイラー因子が有理型および関数等式を満たす。
• クラス2の冪零群に対して、2変数表現ゼータ関数は一変数のねじれ表現ゼータ関数に特化する。
• クラス2の冪零群の族に対する2変数ゼータ関数の明示的公式が導出された。
• 局所2変数表現ゼータ関数は有限ハイパーオクタヘドロン群上の和として表現され、これらの群上の3つの統計量の連続的分布公式が得られた。
• ゼータ関数は、単群的群スキームにおける表現論、共轭類の数、群論的統計の統合的枠組みを提供する。