[論文レビュー] Black box groups isomorphic to ${ m PGL}(2,2^e)$

William M. Kantor, Martin Kassabov|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、${\rm PGL}(2,2^e)$に同型なブラックボックス群と、抽象的群${\rm PGL}(2,2^e)$の明示的同型写像を構築する決定的多項式時間アルゴリズムを提示する。主な貢献は、$O(\mu e^3 \log e)$時間で動作するブラックボックス認識アルゴリズムであり、群の元に対する効率的なストレートラインプログラム（SLP）の生成が可能である。

ABSTRACT

A deterministic polynomial-time algorithm constructs an isomorphism between ${ m PGL}(2,2^e)$ and a black box group to which it is isomorphic.

研究の動機と目的

• ブラックボックス群が${\rm PGL}(2,2^e)$に同型である場合に、決定的多項式時間で認識できるアルゴリズムを開発すること。
• ${\rm PGL}(2,2^e)$に同型なブラックボックス群と、抽象的群${\rm PGL}(2,2^e)$との間で有効な同型写像を構築すること。
• 偶数標数のブラックボックス群において、決定的かつ反復的でないインボリューション生成の長年の障壁を克服すること。
• 新しい生成子を用いて、任意の群の元に対するストレートラインプログラム（SLP）を効率的に計算可能にする。

提案手法

• Proposition 4で提示される新規なインボリューション生成式を活用し、${\rm PGL}(2,2^e)$に同型なブラックボックス群において、決定的にインボリューションを生成する。
• 得られたインボリューションを用いてボレル部分群を構成し、ブラックボックス群内に$\mathfrak{F} \cong \mathbb{F}_{2^e}$と同型な体$\mathfrak{F}$を回復する。
• Proposition 9を適用し、群演算から得られる体元の平方根を含む有理式を用いて、行列成分を回復する。
• ストレートラインプログラム（SLP）を用いて、群の元の像および逆像を効率的に計算する。
• 最小多項式の計算を用いて、抽象的群表現のための体$\mathbb{F}_{2^e} = \mathbb{F}_2[s]$を定義する。
• 群論的性質（例えば共軛作用やトレース恒等式）に依存し、群の元から行列成分を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックス群と${\rm PGL}(2,2^e)$との間に、決定的多項式時間で同型写像を構築できるか？
• RQ2 ${\rm PGL}(2,2^e)$に同型なブラックボックス群において、離散対数オракルや確率的手法に依存せずにインボリューションを生成することは可能か？
• RQ3 群演算のみを用いて、$\mathbb{F}_{2^e}$を効果的に回復できるか？
• RQ4 このような群において、任意の元に対するストレートラインプログラム（SLP）の生成の計算量はどの程度か？
• RQ5 群演算と体の演算のみを用いて、群の元から行列成分を再構成できるか？

主な発見

• アルゴリズムは$O(\mu e^3 \log e)$時間で同型写像を構築する。ここで$\mu$は1回の群演算に要する時間である。
• ブラックボックス群と抽象的${\rm PGL}(2,2^e)$の両方の3元生成集合が得られ、それらの間の有効な同型写像が構築される。
• 両方向（${\rm PGL}(2,2^e)$から$G$へ、およびその逆）に対して、長さ$O(e)$のSLPを$O(\mu e^3)$時間で計算可能である。
• 体$\mathbb{F}_{2^e}$は、群演算とインボリューションに基づく構成のみを用いて、ブラックボックス群内に完全に回復される。
• 任意の群の元の行列成分は、特定の群積から得られる体元の平方根を含む有理式を用いて再構成可能である。
• 離散対数オラクルを避けており、群演算と体の演算のみに依存するため、完全にブラックボックスな設定にも適用可能である。