[論文レビュー] Black-Hole Approach to the Singular Problem of Quantum Mechanics. II

A. E. Shabad|ArXiv.org|Mar 17, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ r^{-2} $ ポテンシャルにおける粒子の落下という特異な量子力学的問題に対して、ブラックホールに類似したアプローチを提案する。原点を物理的発光・吸収源として扱い、ハミルトニアンを特異測度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} = r^{-2}\mathrm{d}r $ および $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $ を用いた一般化固有値問題として再定義することで、境界状態（閉じ込め状態）と散乱状態（透過・反射）を分類し、Jost関数を用いてユニタリな $ 2\times2 $ S行列を導出する。

ABSTRACT

A new approach is proposed for the quantum mechanical problem of the falling of a particle to a singularly attracting center, basing on a black-hole concept of the latter. The singularity r^{-2} in the potential of the radial Schroedinger equation is considered as an emitting/absorbing center. The two solutions oscillating in the origin are treated as asymptotically free particles, which implies that the singular point r=0 in the Schroedinger equation is treated on the same physical ground as the singular point r=infinity. To make this interpretation possible, it is needed that the norm squared of the wave function should diverge when r tends to zero, in other words, the measure used in definition of scalar products should be singular in the origin. Such measure comes into play if the Schroedinger equation is written in the form of the generalized (Kamke) eigenvalue problem for either of two - chosen differently depending on the sign of the energy E - operators, other than Hamiltonian. The Hilbert spaces where these two operators act are used to classify physical states, which are: i) states of "confinement"- continuum of solutions localized near the origin, E<0 - and ii) the states corresponding to the inelastic process of reflection/transmission, i.e. to transitions in-between states localized near the origin and in the infinitely remote region, E>0. The corresponding unitary 2x2 S-matrix is written in terms of the Jost functions. The complete orthonormal sets of eigen-solutions of the two operators are found using "quantization in a box" (a,b), followed by the transition to the limit a=0, b=infinity. The corresponding expansions of the unity are written.

研究の動機と目的

• 標準的量子力学が特異な $ r^{-2} $ ポテンシャルへの粒子落下を記述する際、ハミルトニアンのスペクトルが下に有界でないという物理的不一致を解消すること。
• 原点 $ r=0 $ を $ r=\infty $ と同様の物理的性質を持つものとして扱い、ブラックホールに類似した発光・吸収源としてモデル化すること。
• 波動関数が $ r=0 $ で振動する状態を漸近自由粒子として解釈できるように、特異測度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} $ および $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} $ を用いてヒルベルト空間を定義すること。
• 二種類の自己共役作用素 $ H^{\mathrm{III}} $ および $ H^{\mathrm{IV}} $ を用いて、物理的状態を束縛状態（閉じ込め、$ E<0 $）と散乱状態（透過・反射、$ E>0 $）に分類すること。
• ボックス正則化において $ r_L \to 0 $、$ r_U \to \infty $ としたときの量子化を用い、Jost関数を用いてユニタリな $ 2\times2 $ S行列を構成し、正規直交固有関数展開を導出すること。

提案手法

• エネルギー $ E<0 $ に対して $ H^{\mathrm{III}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) - k^2 $、$ E>0 $ に対して $ H^{\mathrm{IV}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) $ を用い、$ k^2 = E $ とすることで、径方向シュレーディンガー方程式を一般化固有値問題として再定式化する。
• ヒルベルト空間における内積を定義するため、特異測度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ および $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}}(r) = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $ を導入し、$ r=0 $ で振動する波動関数が有限ノルムを持つようにする。
• 境界 $ r_L \to 0 $ および $ r_U \to \infty $ を取り入れ、$ r_L $ および $ r_U $ でゼロ境界条件を課すボックス正則化法を用い、正規直交固有関数集合を構成する。
• $ \xi = \mathrm{Im}\lambda \cdot \left( \ln r + \ln R \right) $ を用いた $ \xi $-空間への変換により、径方向問題を変換し、両端 $ \xi \to \pm\infty $ で振動的となる固有関数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda,R}(\xi) $ を得る。これにより自由粒子の解釈が保証される。
• $ \xi $-空間におけるユニタリ性の展開および一般化フーリエ級数を、固有関数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ を用いて導出し、係数は $ \widetilde{F}(\xi) $ の積分で与える。
• Jost関数を用いて $ 2\times2 $ S行列を構成し、ユニタリ性および $ E>0 $ 時の散乱過程との整合性を保証する。また、位相シフト $ \delta_1, \delta_2 $ および $ \varepsilon^{(j)} $ を用いて S行列と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ポテンシャルにおける $ r=0 $ の特異点を、ブラックホールに類似した物理的発光・吸収源として扱うことは可能か？
• RQ2 $ r=0 $ で振動する波動関数のノルム発散をどのように自由粒子の解釈と整合させられるか？どのような測度がこれを可能にするか？
• RQ3 束縛状態（$ E<0 $）および散乱状態（$ E>0 $）の両方に対して、適切な自己共役作用素の定式化は何か？
• RQ4 局在状態と拡散状態の間の非弾性遷移を記述するユニタリな $ 2\times2 $ S行列をどのように構成できるか？
• RQ5 ボックス正則化スキームを用い、$ r_L \to 0 $、$ r_U \to \infty $ の特異極限において、正規直交固有関数展開を厳密に導出できるか？

主な発見

• 特異測度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ により、$ r=0 $ で振動する波動関数が有限ノルムを持つことが保証され、これが漸近自由粒子としての解釈を可能にする。
• $ H^{\mathrm{III}} $ および $ H^{\mathrm{IV}} $ の二つの作用素は、一般化固有値問題を介して特異測度を伴うヒルベルト空間上で自己共役作用素を形成し、標準ハミルトニアンの下に有界でないスペクトルの問題を回避する。
• $ E<0 $ 時にはスペクトルは離散的で、閉じ込め状態に対応する。$ E>0 $ 時にはスペクトルは連続的で、透過・反射を伴う散乱状態を記述する。
• $ \xi $-空間における固有関数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ は正規直交であり、任意の $ L^2 $ 関数 $ \widetilde{F}(\xi) $ を一般化フーリエ級数で展開可能である。
• $ 2\times2 $ S行列はユニタリであり、Jost関数を用いて表現され、位相シフトは $ \delta_1, \delta_2 $ および $ \varepsilon^{(j)} $ によって決定され、量子力学的散乱理論と整合的である。
• $ \xi \to \pm\infty $ における固有関数の漸近的挙動は、エネルギーおよび結合定数に依存する位相シフトを伴う振動的挙動を示し、$ r=0 $ 近傍の状態が自由粒子としての性質を持つことを確認する。