[論文レビュー] Black hole as topological insulator (I): the BTZ black hole case

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特に3次元AdS空間内のBTZブラックホールがトポロジカル絶縁体として理解可能であると提案する。2つの主要な類似性を示している：ホライズンは導電膜（膜仮説）として振る舞い、互いに逆のヘリシティを持つ質量ゼロのスカラー励起モードを支持する。これは2次元トポロジカル絶縁体の特徴である。電磁気への結合により境界における導電性が確認され、重力とトポロジカル秩序の間に深い関係があることが示唆される。

ABSTRACT

Black holes are extraordinary massive objects which can be described classically by general relativity, and topological insulators are new orders of matter that could be use to built a topological quantum computer. They seem to be different objects, but in this paper, we claim that the black hole can be considered as kind of topological insulator. For BTZ black hole in three dimensional $AdS_3$ spacetime we give two evidences to support this claim: the first evidence comes from the black hole "membrane paradigm", which says that the horizon of black hole behaves like an electrical conductor. On the other hand, the vacuum can be considered as an insulator. The second evidence comes from the fact that the horizon of BTZ black hole can support two chiral massless scalar field with opposite chirality. Those are two key properties of 2D topological insulator. We also consider the coupling with the electromagnetic field to show that the boundary modes can conduct the electricity. For higher dimensional black hole the first evidence is still valid. So we conjecture that the higher dimensional black hole can also be considered as higher dimensional topological insulators. This conjecture will have far-reaching influences on our understanding of quantum black hole and the nature of gravity.

研究の動機と目的

• 2+1次元AdS重力におけるブラックホールホライズンとトポロジカル絶縁体の間の概念的・物理的類似性を確立すること。
• BTZブラックホールのホライズンが、ヘリカルエッジモードや電気的導電性といった2次元トポロジカル絶縁体の特徴を示すかどうかを調査すること。
• この類似性が量子重力およびトポロジカル秩序からの時空の出現に与える意味を探ること。
• 膜仮説とBF理論の構造の有効性に基づき、高次元ブラックホールへの類似性を拡張すること。

提案手法

• 重力の第一順位形式を用いて$AdS_3$時空におけるBTZブラックホールを分析し、アインシュタイン＝ヒルベルト作用を2つの$SO(2,1)$チャーン＝サイモンズ作用の和に書き換える。
• 膜仮説を適用して、ブラックホールホライズンが導電体として振る舞い、導電率$\sigma = 1/g^2$を示す一方で、内部真空中は絶縁体として振る舞うことを示す。
• チャーン＝サイモンズ理論の境界還元を用いて、ホライズン上に相反するヘリシティを持つ2つのヘリカルで質量ゼロのスカラー場が存在することを導出する。
• 電磁場との結合を電流相互作用項として導入し、境界モードが電流を運ぶことができ、したがって電気的導電性を示すことを示す。
• ゲージ不変な場の再定義と境界項の解析を用いて有効境界作用を分離し、量子ホール系に類似した電荷密度場$\rho$を同定する。
• 一般相対性理論が制約付きBF理論として記述可能であることに基づき、膜仮説と組み合わせることで、高次元ブラックホールに対しても議論を拡張し、高次元トポロジカル絶縁体との広範な類似性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BTZブラックホールのホライズンは、その電磁気的および場の理論的性質に基づき、2次元トポロジカル絶縁体として解釈可能か？
• RQ2 BTZブラックホールのホライズンモードは、トポロジカル絶縁体モデルが要求するように、相反するヘリシティを持つヘリカルで質量ゼロのエッジ状態を示すか？
• RQ3 ホライズンの自由度が電磁場に結合することで、測定可能な電気的導電率が得られ、導体的挙動が確認されるか？
• RQ4 チャーン＝サイモンズ形式が存在しないにもかかわらず、ブラックホールホライズンとトポロジカル絶縁体の類似性を高次元ブラックホールへと拡張可能か？
• RQ5 この類似性が、重力の出現および量子ブラックホールの性質に与える意味は何か？

主な発見

• BTZブラックホールのホライズンは、有限の電気的導電率$\sigma = 1/g^2$を示し、膜仮説と一致し、2次元トポロジカル絶縁体の表面導電率に類似している。
• ホライズンは、相反するヘリシティを持つ2つのヘリカルで質量ゼロのスカラー場を支持しており、これは2次元トポロジカル絶縁体の特徴的性質であり、チャーン＝サイモンズ作用の境界還元から導出される。
• 電磁気場に結合した後の有効境界作用は$S'_{j} = \frac{1}{2}\int_{r=r_{+}} d^2x (a_v L\rho - a_\varphi \rho)$であり、境界モードが電流を運ぶことができることを確認する。
• 場$\rho(\tilde{u}) = \partial\Psi_1 / \partial\tilde{u}$は電荷密度として同定され、量子ホール効果におけるエッジ電荷密度に類似している。
• 膜仮説によるホライズン導電率の予測は高次元でも有効であり、高次元ブラックホールも高次元トポロジカル絶縁体として解釈可能である可能性を示唆する。
• トポロジカル絶縁体の有効理論であるBF理論と、重力の制約付きBF理論形式との構造的類似性は、重力が局所自由度のない発現的トポロジカル位相である可能性を示唆している。