[論文レビュー] Black Hole Entropy and Induced Gravity

Ted Jacobson|ArXiv.org|Apr 19, 1994

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 124

ひとこと要約

本稿では、ブラックホールのエントロピーが、事象の地平線を越えて生じる量子場の相関に起因する完全なエンタングルメント・エントロピーであると主張している。重力が量子揺らぎによって誘導されるとき、Bekenstein-Hawkingのエントロピー公式 $A/4\hbar G_{\text{ren}}$ が自然に導かれる。主な結果は、正則化された重力定数 $G_{\text{ren}}$ がエンタングルメント・エントロピーの場の内容依存性と一致することであり、ブラックホールのエントロピーが完全に量子力学的起源であることを示している。

ABSTRACT

In this short essay we review the arguments showing that black hole entropy is, at least in part, ``entanglement entropy", i.e., missing information contained in correlations between quantum field fluctuations inside and outside the event horizon. Although the entanglement entropy depends upon the matter field content of the theory, it turns out that so does the Bekenstein-Hawking entropy $A/4\hbar G_{ren}$, in precisely the same way, because the effective gravitational constant $G_{ren}$ is renormalized by the very same quantum fluctuations. It appears most satisfactory if the entire gravitational action is ``induced", in the manner suggested by Sakharov, since then the black hole entropy is purebred entanglement entropy, rather than being hybrid with bare gravitational entropy (whatever that might be.)

研究の動機と目的

• 量子重力におけるブラックホールのエントロピーの統計的起源のパズルを解明すること。
• Bekenstein-Hawkingのエントロピー $A/4\hbar G$ がなぜ地平線を越えて生じる量子場のエンタングルメント・エントロピーと一致するのかを説明すること。
• エンタングルメント・エントロピーが場の内容に依存する一方で、ブラックホールのエントロピーがそのように見えないという「種の問題」を、正則化された重力に結びつけることで解決すること。
• 重力が完全に量子揺らぎによって誘導されるならば、ブラックホールのエントロピーは完全にエンタングルメント・エントロピーであると主張し、別個の「裸の重力的エントロピー」を避けること。
• 誘導重力の枠組みを通じて、曲がった時空における量子場理論とブラックホール熱力学を統合すること。

提案手法

• 永遠のブラックホール時空におけるHartle-Hawking真空状態を用いて、地平線を越えて純粋な量子状態を定義する。
• 地平線の背後に存在する自由度をトレースして、混合状態を記述する縮約密度行列 $\rho_I$ を得る。
• $\rho_I$ が $\mathcal{N} \exp(-\beta H)$ の形をとることを示し、エンタングルメント・エントロピーがHawking温度 $T_H = \hbar\kappa/2\pi$ における熱的エントロピーとして特定されることを示す。
• 周期的ユークリッド時間 $\beta$ を持つユークリッド的ブラックホール幾何における関数的積分として、分配関数 $Z[\beta]$ を表現する。
• 有効作用 $W = -\hbar \ln Z$ を計算し、局所的曲率項 $W_{\text{loc}} = \hbar \int d^4x \sqrt{g} (a_0 + a_1 R + \cdots)$ を分離する。
• 地平線に寄与するエントロピーを $4\pi\hbar a_1 A$ と特定し、$a_1 \propto 1/G_{\text{ren}}$ のとき、これは $A/4\hbar G_{\text{ren}}$ と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ量子場の地平線を越えたエンタングルメント・エントロピーが、Bekenstein-Hawkingのエントロピー $A/4\hbar G$ と一致するのか？
• RQ2 エンタングルメント・エントロピーの場の内容依存性を、$A/4\hbar G$ がそのように見えないことにどう調和させられるか？
• RQ3 正則化された重力定数 $G_{\text{ren}}$ は、量子場理論とブラックホールのエントロピーを結ぶ役割を果たすのか？
• RQ4 重力が量子揺らぎによって誘導されるならば、ブラックホールのエントロピーを完全にエンタングルメント・エントロピーとして理解できるか？
• RQ5 発散するエンタングルメント・エントロピーを正則化するためのプランクスケールのカットオフの物理的意味は何か？

主な発見

• プランク長 $L_{\text{Pl}}$ における物理的短距離カットオフによって正則化されたとき、ブラックホールの地平線を越えて生じる量子場のエンタングルメント・エントロピーは有限である。
• エンタングルメント・エントロピーの主な寄与項は、有効作用におけるアインシュタイン＝ヒルベルト項から生じ、$4\pi\hbar a_1 A$ となる。これはBekenstein-Hawkingの形 $A/4\hbar G_{\text{ren}}$ と一致する。
• 有効作用における係数 $a_1$ は、$G_{\text{ren}}$ と同じ方法で量子揺らぎによって正則化されるため、エンタングルメント・エントロピーとBekenstein-Hawkingのエントロピーの両方が、量子場の数に同じ依存性を持つ。
• $G_{\text{ren}}$ がエンタングルメント・エントロピーを生成する同じ量子揺らぎによって生じるならば、種の問題は自然に解消される。その結果、場の依存性が最終的なエントロピー式から相殺される。
• 重力作用全体が量子揺らぎによって誘導される（Sakharovの提案に従う）ならば、ブラックホールのエントロピーは完全にエンタングルメント・エントロピーであり、別個の「裸の」重力的エントロピーは不要である。
• この結果は、量子重力が根本的に前幾何的または弦理論的である可能性を支持しており、ブラックホール熱力学が強い一貫性のチェックを提供している。