[論文レビュー] Black holes and modular forms in string theory

Sameer Murthy|arXiv (Cornell University)|May 19, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 8

ひとこと要約

要約: 本論文は、String理論におけるブラックホールエントロピーが、生成関数がモジュラー形式である微視的状態によって数えられ、それがモックモジュラー形式やHardy-Ramanujan-Rademacher展開との関連を導くことを説明している。

ABSTRACT

The study of black holes in string theory has led to the discovery of deep and surprising connections between black holes and modular forms -- which are two classical, a priori unrelated, subjects. This article explains the main physical and mathematical ideas behind these connections. It is known from the pioneering work of J.Bekenstein and S.Hawking in the 1970s that black holes have thermodynamic entropy, and should therefore be made up of a collection of microscopic quantum states. Superstring theory provides a framework wherein we can associate a number of microscopic states that make up the quantum-statistical system underlying a black hole, thus explaining their thermodynamic behavior from a more fundamental point of view. %The above-mentioned connections arise from the observation that, i The basic connection to modular forms arises from the observation that, in the simplest superstring-theoretic construction, the generating function of the number of microscopic states is a modular form. In one direction, modular symmetry acts as a powerful guide to the calculation of quantum-gravitational effects on the black hole entropy. In the other direction, the connection has led to the discovery of surprising relations between Ramanujan's mock modular forms and a class of string-theoretic black holes, thus providing an infinite number of new examples of mock modular forms.

研究の動機と目的

• ブラック holesの熱力学的エントロピーとその微視的カウントをString理論の中で動機づけ、説明する。
• モジュラー対称性が微視的状態のカウントと量子重力補正を支配する方法を示す。
• 特定のString理論ブラックホールからモックモジュラー形式の出現を示す。

提案手法

• Bekenstein-Hawkingエントロピーと、string理論における微視的状態による量子統計的解釈を概説する。
• string理論におけるブラックホールの二つの像を説明する：巨視的（GR）と微視的（膜/弦束縛状態）。
• supersymmetric indices（Witten index）と、それらがBPS状態のカウントで果たす役割を紹介する。
• 微視的多重度とDedekind eta関数および theta関数などのモ듈形式との関係を説明する。
• Hardy-Ramanujan-Rademacher型展開を適用して多重度を推定し、エントロピーの量子補正と結びつける。

Figure 1 : Microscopic and macroscopic pictures of a black hole in string theory

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 modul ar対称性はブラックホールエントロピーの量子重力的補正の計算をどのように助けるか？
• RQ2 様々なstring理論圧縮におけるブラックホール微視的状態カウントとモ들ル形式の正確な関係は？
• RQ3 特定のstring理論ブラックホールからモックモ듈形式は生じうるか、そしてそれは微視的状態カウントについて何を意味するか？
• RQ4 Supersymmetric indicesはBPSブラックホールのBekenstein-Hawkingエントロピーをどの程度再現・説明できるか？

主な発見

• 単純なstring構成における微視的ブラックホール状態の生成関数はモ듈形式であり、エントロピーがBekenstein-Hawking式と一致する。
• Hardy-Ramanujan-Rademacher展開は微視的状態カウントをブラックホールエントロピーの量子重力補正と関連づける。
• 特定のCalabi–Yau圧縮において、微視的縮退度はeta関数とtheta関数の組み合わせによってモ듈的対象を形成し、その漸近はBHエントロピーを再現する。
• BPSブラックホールは温度ゼロを示すがエントロピーを帯び、その微視的カウントは重力エントロピーと整合する超対称性指標を介して整合する。
• この研究は特定のstring理論ブラックホールを通じてラムナジュアンのモ듈形式へのつながりを明らかにし、物理学におけるモ듈対象の数学的風景を拡張している。

Figure 2 : Wall-crossing in supergravity. The vertical line denotes a co-dimension one wall in the parameter space of solutions. On the left side of the wall the only solution is the single black hole. On the right side there is an additional solution which is a bound state of two black holes, which