[論文レビュー] Black Holes and Quantum Mechanics

Рената Каллош|ArXiv.org|Jan 31, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、極端なReissner-Nordströmブラックホールと conformal量子力学の間の対応関係を確立し、標準的な conformal力学における正規化可能な基底状態の不在が、ブラックホールの事象の地平線における時間座標の定義不全に対応することを示している。ハミルトニアンを時間変換不変性を破るが離散的かつ正規化可能なスペクトルを回復するコン pact 生成子 $ L_0 $ として再定義することにより、地平線付近の粒子運動の整合的な量子記述が達成され、これは滑らかな $\text{AdS}_2$-類似幾何への座標変換として解釈される。

ABSTRACT

The motion of a particle near the RN black hole horizon is described by conformal mechanics. Models of this type have no ground state with vanishing energy. This problem was resolved in past by a redefinition of the Hamiltonian which breaks translational time invariance but gives a normalizable ground state. We show that this change of the Hamiltonian is a quantum mechanical equivalent of the change of coordinates near the black hole horizon removing the singularity. The new Hamiltonian of quantum mechanics is identified as an operator of a rotation between 2 time-like coordinates of the adS hypersurface which translates global time. Therefore conformal quantum mechanics may eventually help to resolve the puzzles of the classical black hole physics.

研究の動機と目的

• 極端なブラックホールの事象の地平線付近を記述する conformal量子力学における正規化可能な基底状態の不在を解消すること。
• DFFモデルにおけるハミルトニアン再定義を、地平線特異性を除去する物理的座標変換として解釈すること。
• 新たなハミルトニアン $ L_0 $ が $\text{AdS}_2$ 内の二つの時間的座標の間の回転に対応し、良好に定義された量子真空を回復することを示すこと。
• $\text{AdS}_2$ 埋め込みと座標再パrameter化を通じて、量子力学的モデルと古典的ブラックホール幾何を結びつけること。
• conformal量子力学が、量子力学的正則化を通じて古典的ブラックホールのパラドックスを解消するフレームワークを提供する可能性があると提言すること。

提案手法

• 極端なReissner-Nordströmブラックホールの近地平線極限から、conformal mechanics ハミルトニアン $ H = \frac{p^2}{2f} + \frac{g}{2x^2 f} $ を導出する。
• DFF手順に従い、ハミルトニアンを $ L_0 = \frac{1}{2}(\frac{1}{a}K + aH) $ に再定義する。これによりスケール不変性および時間変換不変性が破れるが、離散的かつ正規化可能なスペクトルが得られる。
• $ L_0 $ を二つの時間的座標 $ T_1 $ と $ T_2 $ 間の $ U(1) $ 回転生成子として特定し、$\text{AdS}_2$ のグローバル時間 $ \tau $ に対応する。
• $\text{AdS}_2$ 超曲面の $ SO(1,2) $ 対称性代数を用いて、$ L_0 $ をコンパクト生成子、$ L_\pm $ を非コンパクト生成子として解釈する。
• 複素時間座標 $ T = T_1 + iT_2 = e^{i\tau/a}(a^2 + r^2)^{1/2} $ を構築し、元の $ t $ とは異なり地平線で正則であることを示す。
• $\text{AdS}_2$ 超曲面上の計量が半径 $ a = |Q_{BH}|L_P $ のBR計量に還元されることを示し、量子モデルとブラックホールパラメータを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な conformal量子力学における基底状態の不在は、ブラックホールの事象の地平線の幾何とどのように関係しているか？
• RQ2 ブラックホール物理学の文脈において、DFFハミルトニアン再定義 $ L_0 = \frac{1}{2}(\frac{1}{a}K + aH) $ に物理的意味はあるか？
• RQ3 なぜ近地平線量子記述において時間変換不変性が破れるのか？これは物理的に正当化されるか？
• RQ4 極端なブラックホールの事象の地平線付近に、どのようにして $\text{AdS}_2$ 幾何が現れるのか？
• RQ5 conformal量子力学モデルは、座標再定義と量子正則化を通じて、古典的ブラックホール特異性を解消できるか？

主な発見

• 標準的な conformal mechanics ハミルトニアン $ H $ には正規化可能な基底状態がなく、これは静的座標でカバーされない地平線における光的測地線に対応する。
• 再定義されたハミルトニアン $ L_0 = \frac{1}{2}(\frac{1}{a}K + aH) $ は離散スペクトル $ r_n = r_0 + n $（$ r_0 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{g + 1/4}) $）をもち、正規化可能な固有状態を許容する。
• 演算子 $ L_0 $ は二つの時間的座標 $ T_1 $ と $ T_2 $ 間の回転生成子として特定され、グローバル時間 $ \tau $ を移動させる $ U(1) $ 対称性に対応する。
• 新しい座標系（$ T = e^{i\tau/a}(a^2 + r^2)^{1/2} $ を用いることで、地平線における特異性が除去され、$ \tau $ が良好に定義された時間座標となる。
• $\text{AdS}_2$ 超曲面上の計量は半径 $ a = |Q_{BH}|L_P $ のBR計量に還元され、量子モデルとブラックホール質量・電荷を結びつける。
• $\text{AdS}_2$ 表面の $ SO(1,2) $ 対称性は $ J_{T_1T_2} = L_0 $、$ J_{T_1r} \pm iJ_{T_2r} = L_\pm $ により実現され、量子モデルがブラックホールの近地平線幾何の量子実現であることが示される。