[論文レビュー] Black Holes and the Penrose Inequality in General Relativity

Hubert L. Brav|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非負のスカラー曲率と最小曲面（ブラックホールの視界を表す）をもつ漸近的に平坦なリーマン3次元多様体の新しい流れを用いて、リーマン的ペンローズ不等式の幾何学的証明を提示する。質量が1つのシュバルツシルトブラックホールに物質が崩壊するのを模倣するように計量を発展させることで、等号が成立する状況に至る。この流れは視界面積を保存しながら全質量を減少させるため、任意の数のブラックホールに対して不等式が成立することが証明される。

ABSTRACT

In a paper [23] in 1973, R. Penrose made a physical argument that the total mass of a spacetime which contains black holes with event horizons of total area A should be at least p A/16�. An important special case of this physical statement translates into a very beautiful mathematical inequality in Riemannian geometry known as the Riemannian Penrose inequality. One particularly geometric aspect of this problem is the fact that apparent horizons of black holes in this setting correspond to minimal surfaces in Riemannian 3manifolds. The Riemannian Penrose inequality was first proved by G. Huisken and T. Ilmanen in 1997 for a single black hole [17] and then by the author in 1999 for any number of black holes [6]. The two approaches use two different geometric flow techniques. The most general version of the Penrose inequality is still open. In this talk we will sketch the author’s proof by flowing Riemannian manifolds inside the class of asymptotically flat 3-manifolds (asymptotic to R 3 at infinity) which have nonnegative scalar curvature and contain minimal spheres. This new flow of metrics has very special properties and simulates an initial physical situation in which all of the matter falls into the black holes which merge into a single, spherically symmetric black hole given by the Schwarzschild metric. Since the Schwarzschild metric gives equality in the Penrose inequality and the flow decreases the total mass while preserving the area of the horizons of the black holes, the Penrose inequality follows. We will also discuss how these techniques can be generalized in higher dimensions.

研究の動機と目的

• 非負のスカラー曲率をもつ3次元の漸近的に平坦な多様体における任意の数のブラックホールに対して、リーマン的ペンローズ不等式を確立すること。
• 物理的崩壊が1つの球対称ブラックホールに至るのをモデル化する新しい計量の流れを用いた幾何学的証明を提供すること。
• 全質量が全視界面積の関数によって下から抑えられることを示し、ペンローズの物理的予想を確認すること。
• この証明技法を高次元に拡張し、幾何学的流れ法のより広範な適用可能性を示唆すること。

提案手法

• 漸近的に平坦で非負のスカラー曲率をもつ3次元多様体のクラスに属する計量の幾何学的流れを構築する。
• 流れは、最小曲面（つまり、ブラックホールのありとあらゆる視界）の面積を保存する。
• 流れは初期時空をシュバルツシルト計量に発展させ、ここでペンローズ不等式の等号が成立する。
• 全質量は流れに沿って非増加であり、初期質量が最終質量以上であることが保証される。
• 流れは、すべての物質が1つのブラックホールに崩壊する物理的状況を模倣するように設計されている。
• シュバルツシルト計量がペンローズ不等式で等号を達成することに着目し、質量の減少が初期状態における不等式の成立を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的流れ技法を用いて、任意の数のブラックホールに対してリーマン的ペンローズ不等式を証明できるか？
• RQ2 漸近的に平坦で非負のスカラー曲率をもつ3次元多様体において、視界面積を保存しながら全質量を単調に減少させる幾何学的流れが存在するか？
• RQ3 物質が1つのブラックホールに崩壊するという物理的直観を、計量の流れによって厳密にモデル化できるか？
• RQ4 提案された流れは、ペンローズ不等式で等号を達成するシュバルツシルト解とどのように関係するか？
• RQ5 この流れに基づくアプローチは、高次元のリーマン多様体へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 非負のスカラー曲率をもつ3次元の漸近的に平坦なリーマン多様体における任意の数のブラックホールに対して、リーマン的ペンローズ不等式が証明された。
• 幾何学的流れは、最小曲面（視界）の面積を保存しながら、全質量を単調に減少させる。
• 流れは初期計量をシュバルツシルト計量に発展させ、ここでペンローズ不等式の等号が成立する。
• 質量が減少し、視界面積が保存されるので、初期質量はペンローズ不等式で要求される値以上でなければならない。
• この方法は、ブラックホール質量が視界面積によって下から抑えられる物理的原理に対する新しい幾何学的視点を提供する。
• このアプローチは高次元へ拡張可能であり、高次元一般相対性理論におけるペンローズ不等式の証明への道筋を示唆する。