[論文レビュー] Black holes have more states than those giving the Bekenstein-Hawking entropy: a simple argument

Carlo Rovelli|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

論文は、ホライズン内に外部観測に影響を及ぼさない区別可能な局所状態が存在するため、Bekenstein-Hawking エントロピー $e^{A/4}$ が示唆するよりも、ブラックホールがより多くの量子状態を持つと主張している。因果的構造と曲がった時空上での量子場理論を用いて、ホライズンが縮小するにつれて、内部の区別可能な状態の数が $e^{A/4}$ を上回らなければならないことが示され、$e^{A/4}$ がブラックホールのすべての可能な状態を数えているという仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

It is often assumed that the maximum number of independent states a black hole may contain is $N_{BH}=e^{S_{BH}}$, where $S_{BH}=A/4$ is the Bekenstein-Hawking entropy and $A$ the horizon area in Planck units. I present a simple and straightforward argument showing that the number of states that can be distinguished by local observers inside the hole must be greater than this number.

研究の動機と目的

• Bekenstein-Hawking エントロピー $S_{BH} = A/4$ がブラックホールのすべての可能な量子状態を数えているという広く受け入れられている仮定に反論すること。
• ブラックホールホライズン内にいる局所観測者が、$e^{A/4}$ よりも多くの状態を区別できることを示し、表面エントロピーが示唆するよりも大きな状態空間が存在することを示すこと。
• 因果的構造を用いて、外部から検出可能な状態（表面状態）と、内部からのみ検出可能な状態（内部状態）の違いを明確にすること。
• 後期のハーキング放射が、初期の放射ではなく内部ブラックホール状態とももつれることを示すことで、ブラックホール情報パラドックスの矛盾を解消すること。
• 面積が外部から区別可能な状態の数を制限するのみであり、すべての内部状態を制限するわけではないという点で、ホログラフィー原理を精緻化すること。

提案手法

• 明確なイベントホライズンを持つ重力的崩壊の時空幾何学に量子場を適用し、共形図を用いてホライズンを横切るコーシー面 $\Sigma_1$ と $\Sigma_2$ を定義する。
• 特異点から遠く離れた領域では、曲がった時空上での標準的量子場理論を適用し、高エネルギー量子重力効果がないと仮定する。
• 因果的構造を用いる：ホライズンが光的であり、$\Sigma_1^{in}$ が $\Sigma_2^{in}$ の因果的過去にあることから、$\Sigma_1^{in}$ 上の局所観測可能量の代数は、$\Sigma_2^{in}$ 上の代数の部分代数であるため、$\mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}_2$ が成り立つ。
• 区別可能な状態の数 $N_1$ は $\Sigma_1^{in}$ 上で、$N_2$ は $\Sigma_2^{in}$ 上で、$N_2 \geq N_1$ であることが示される。
• ホライズン面積 $A_2 < A_1$ と、区別可能な内部状態の数が減少しないことの比較から、$N_i = e^{A_i/4}$ は指数関数の単調性により成立しないことが示される。
• 結論として、内部の区別可能な状態の数は $e^{A/4}$ を上回らなければならない。なぜなら、前者は減少しないが、後者は減少するからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホール内部の区別可能な量子状態の数は、Bekenstein-Hawking エントロピーに関連する $e^{A/4}$ を超えることができるか？
• RQ2 ブラックホール内部の時空の因果的構造は、外部から検出可能な状態よりも多くの局所量子状態を許容するか？
• RQ3 $e^{A/4}$ がブラックホールのすべての状態を数えているという仮定は、曲がった時空上での量子場理論と整合するか？
• RQ4 後期のハーキング放射が、初期の放射ではなく内部状態ともつれている場合、ブラックホール情報パラドックスは解消可能か？
• RQ5 ホログラフィーは、ホライズン面積が外部から検出可能な状態のみを制限するべきであり、すべての内部状態を制限するべきではないのだろうか？

主な発見

• ブラックホールホライズン内部の区別可能な量子状態の数は、$e^{A/4}$ を超える。なぜなら、その数は時間とともに減少しないが、$A/4$ は蒸発に伴い減少するからである。
• 時空の因果的構造により、後期のコーシー面 $\Sigma_2^{in}$ 上の観測可能量は、初期の $\Sigma_1^{in}$ 上のすべての観測可能量を含むため、区別可能な状態の数は減少しない。
• ホライズン面積 $A$ が蒸発に伴い縮小するため、$e^{A/4}$ は減少するが、内部状態の区別可能な数は減少しない。したがって、ある時点で $e^{A/4}$ を上回る必要がある。
• Bekenstein-Hawking エントロピー $S_{BH} = A/4$ は、外部から検出可能な状態（「表面状態」）のみを数えている。すべての内部量子状態を数えているわけではない。
• ブラックホール内部には、$v \ll m$ のとき $V \sim 3\sqrt{3}\pi m^2 v$ のような大きな体積が存在し、ホライズン面積が小さくても、多くの量子状態を貯蔵できる。
• 情報の喪失は回避され、なぜなら後期のハーキング放射が、初期の放射ではなく内部ブラックホール状態ともつれているため、完全蒸発の前に情報が漏出し得るからである。